Sagot :
Réponse :
pour tout réel α et pour tout réel positif x, fα(x) = x - α√x
1) étudier le cas où α = 0
pour α = 0 on a f0(x) = x définie sur [0 ; + ∞[
la fonction f0 est une fonction linéaire croissante sur [0 ; + ∞[
x 0 + ∞
signe de f'0(x) +
sens de variation 0 →→→→→→→→→→→→→→→→→ + ∞
croissante
2) on suppose α ≠ 0
a) étudier la dérivabilité de fα en 0
τ(h) = (fα(0+h) - f(0))/h = (h - α√h - 0)/h
= (h - α√h)/h
= h(1 - α√h/h)h
= 1 - (α√h)/h
= 1 - (α√h *√h)/h√h
= 1 - αh/h√h
donc τ(h) = 1 - α/√h
lim τ(h) = lim (1 - α/√h) or si α > 0 ⇒ lim α/√h = + ∞
h→0 h→0 h→0
et lim 1 = 1 donc par addition lim(1 - α/√h) = - ∞
h→0 h→0
si α < 0 ⇒ lim(1 - α/√h) = + ∞
en conclusion la fonction fa n'est pas dérivable en 0
b) déterminer la limite de fα en + ∞
lim fα(x) = lim(x - α√x)
x→ + ∞ x→ + ∞
si α > 0 ⇒ lim(x - α√x) = ∞ - ∞ F.I
x→ + ∞
fα(x) = x - α√x = x(1 - (α√x)/x)
= x(1 - (α√x * √x)/x√x
= x(1 - α x/x√x)
= x(1 - α/√x) or lim (- α/√x) = 0
x → + ∞
et lim x = + ∞ donc par produit lim fα(x) = + ∞
x→+ ∞ x→ + ∞
si α < 0 ⇒ lim (x - α√x) or lim x = + ∞ et lim (- α√x) = + ∞
x → + ∞ x→ + ∞ x→ + ∞
Donc par addition lim fα(x) = + ∞
x → + ∞
donc pour tout réel α la lim fα(x) = + ∞
x → + ∞
et démontrer que Cfα admet une branche parabolique de direction
asymptotique y = x donc il faut démontrer que
lim fα(x)/x = 1 et lim fα(x) - x = ∞
x → + ∞ x → + ∞
lim fα(x)/x = lim (x - α√x)/x
x → + ∞ x → + ∞
or fα(x)/x = (x - α√x)/x = x(1 - α√x/x)/x = 1 - α√x/x
= 1 - (α√x * √x)/x√x = 1 - α x/x√x = 1 - α/√x
lim (- α/√x) = 0 donc par addition lim (1 - α/√x) = 1
x → + ∞
donc lim fα(x)/x = 1
x→ + ∞
lim fα(x) - x = lim (x - α√x) - x = lim (- α√x) = ± α
x→ + ∞ x → + ∞ x → + ∞
3) on suppose α > 0
(a) donner le tableau de variation de fα
fα(x) = x - α√x
fα est une fonction somme dérivable sur ]0 ; + ∞[ et sa dérivée f 'α est
f 'α(x) = 1 - α/2√x = (- α + 2√x)/2√x or 2√x > 0 donc le signe de f 'α(x)
dépend du signe de - α + 2√x
- α + 2√x = 0 ⇔ √x = α/2 ⇔ (√x)² = α²/4 ⇔ x = α²/4
x 0 α²/4 + ∞
f 'α(x) || - 0 +
variations 0 →→→→→→→→→fα(α²/4) →→→→→→→→ + ∞
de fα(x) décroissante croissante
b) α0 = fα(α²/4) = α²/4 - α√(α²/4) = α²/4 - α²/2 = - α²/4
Explications étape par étape :
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