Bonjour,
Démonstration de la règle d’Alembert :
Soit ∑Uₙ une série de termes > 0 tel que [tex]\frac{U_{n+1}}{U_{n}} } \rightarrow _{n\rightarrow+ \infty } l[/tex] ∈ R ∪ {+∞}
1. Si l ∈ ]1 ; + ∞ [ ∪ {+∞} alors ∑Uₙ diverge
Cas où l > 1 ⇒ On considère que 1 < α < l.
On supposera également que [tex]\frac{U_{n+1}}{U_{n}} } \rightarrow _{n\rightarrow+ \infty } l[/tex] avec l ∈ ]1 ; + ∞ [ ∪ {+∞} il existe un rang N tel que si n ≥ N on a alors [tex]\frac{U_{n+1}}{U_{n}} } \geq \alpha[/tex] ce qui signifie que [tex]U_{n+1}\geq \alpha U_{n}\geq U_{n}[/tex] Ainsi la suite Un est donc croissante à partir du rang N et ∀n ≥ N on a [tex]U_{n} \geq U_{N}[/tex] or on a [tex]U_{N} > 0[/tex] , ainsi la suite Uₙ ne peut pas tendre vers 0 ⇒ la série ∑Uₙ est donc divergente.
2. Pour l = +∞ , la série ∑Uₙ est convergente
On suppose : [tex]\frac{U_{n+1}}{U_{n}} } \rightarrow _{n\rightarrow+ \infty } l[/tex] avec l [0 ; 1 [
On considère q tel que l < q < 1 . Comme on sait que [tex]\frac{U_{n+1}}{U_{n}} } \rightarrow _{n\rightarrow+ \infty } l[/tex] on peut alors dire qu'il existe un rang N tel que si n ≥ N, on aura alors [tex]\frac{U_{n+1}}{U_{n}} } \leq q[/tex] ⇒ il suffit maintenant de montrer par récurrence que ∀ₙ ≥ N on a alors 0 ≤ Uₙ ≤ [tex]\frac{U_{N}}{q^{N} } q^{n}[/tex] . Comme il s'agit d'une série a terme > 0 on peut en déduire que la suite est convergente puisque [tex]\frac{U_{N}}{q^{N} } q^{n}[/tex] est une constante et que la série ∑qⁿ est une suite géométrique de raison q .
3. si l = 1 ; on ne peut rien conclure.
Montrons le par un exemple : la série [tex]\sum \frac{1}{n^{2} }[/tex] où n ≥ 1 est convergente alors que la série [tex]\sum \frac{1}{n^{} }[/tex] où n ≥ 1 est divergente.
J'espère avoir répondu à ta question
