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Réponse :
Bonjour,
Explications étape par étape :
Une famille de vecteurs est génératrice d'un espace vectoriel ssi tout vecteur v est une combinaison linéaire de ces vecteurs.
[tex]\forall\ \vec{v} \in\ \mathbb{R}^2 : \vec{v}=k_1*\vec{a}+k_2*\vec{b}\\\\\vec{v}=\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}=k_1*\begin{bmatrix} 4\\-1 \end{bmatrix} +k_2*\begin{bmatrix} 5\\3 \end{bmatrix}\\\\\\\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4 & 5 \\-1 & 3 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} k_1\\k_2 \end{bmatrix}\\\\\\A=\begin{bmatrix}4 & 5 \\-1 & 3 \end{bmatrix}\\\\Comme\ det(A)=17\neq 0,\ A^{-1}\ existe.\\\\[/tex]
[tex]A^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{3}{17} & \frac{1}{17} \\\frac{-5}{17} & \frac{4}{17} \end{bmatrix}\\\\\\\begin{bmatrix} k_1\\k_2 \end{bmatrix}=A^{-1}*\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}\\\\[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac{3}{17} *x+\dfrac{1}{17}*y&=&k_1\\\\ \dfrac{-5}{17} *x+\dfrac{4}{17}*y&=&k_2\\\end{array}\right.[/tex]
Il en est de même pour {(4, -1), (12, 3) } car le déterminant de la matrice vaut 4*3-(-1)*12=24≠0
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac{1}{8} *x+\dfrac{1}{24}*y&=&k_1\\\\ \dfrac{-1}{2} *x+\dfrac{1}{6}*y&=&k_2\\\end{array}\right.[/tex]
Rem: ce ne serait pas le cas pour la famille
{(4, 1), (12, 3) } car la matrice n'est pas inversible.( son rang vaut 1)
