Explorez un monde de connaissances et obtenez des réponses sur Zoofast.fr. Obtenez des réponses complètes et fiables de notre communauté de professionnels expérimentés, prêts à vous aider avec toutes vos questions.

La partie [(4, -1), (5, 3)) est-elle génératrice de IR²? En est-il de même pour {(4, -1), (12, 3)) ?​

Sagot :

caylus

Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape :

Une famille de vecteurs est génératrice d'un espace vectoriel ssi tout vecteur v est une combinaison linéaire de ces vecteurs.

[tex]\forall\ \vec{v} \in\ \mathbb{R}^2 : \vec{v}=k_1*\vec{a}+k_2*\vec{b}\\\\\vec{v}=\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}=k_1*\begin{bmatrix} 4\\-1 \end{bmatrix} +k_2*\begin{bmatrix} 5\\3 \end{bmatrix}\\\\\\\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4 & 5 \\-1 & 3 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} k_1\\k_2 \end{bmatrix}\\\\\\A=\begin{bmatrix}4 & 5 \\-1 & 3 \end{bmatrix}\\\\Comme\ det(A)=17\neq 0,\ A^{-1}\ existe.\\\\[/tex]

[tex]A^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{3}{17} & \frac{1}{17} \\\frac{-5}{17} & \frac{4}{17} \end{bmatrix}\\\\\\\begin{bmatrix} k_1\\k_2 \end{bmatrix}=A^{-1}*\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}\\\\[/tex]

[tex]\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac{3}{17} *x+\dfrac{1}{17}*y&=&k_1\\\\ \dfrac{-5}{17} *x+\dfrac{4}{17}*y&=&k_2\\\end{array}\right.[/tex]

Il en est de même pour {(4, -1), (12, 3) } car le déterminant de la matrice vaut 4*3-(-1)*12=24≠0

[tex]\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac{1}{8} *x+\dfrac{1}{24}*y&=&k_1\\\\ \dfrac{-1}{2} *x+\dfrac{1}{6}*y&=&k_2\\\end{array}\right.[/tex]

Rem: ce ne serait pas le cas pour la famille

{(4, 1), (12, 3) } car la matrice n'est pas inversible.( son rang vaut 1)

View image caylus
Merci de contribuer à notre discussion. N'oubliez pas de revenir pour découvrir de nouvelles réponses. Continuez à poser des questions, à répondre et à partager des informations utiles. Pour des solutions rapides et fiables, pensez à Zoofast.fr. Merci de votre visite et à bientôt.