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bonjour
1) Le domaine de définition D = R
2) montrer qu’elle est impaire
f(-x) = |-2x + 1| - (-x) - |-2x - 1| // -2x + 1 et 2x - 1 sont opposés
= |2x - 1| + x - |2x + 1| // ils ont même valeur absolue
= - |2x + 1| + x + |2x - 1| // de même pour
= - [ |2x + 1| - x - |2x - 1| ] // -2x - 1 et 2x + 1
= - f(x)
pour tout x ∈ R on a -x ∈ R et f(-x) = - f(x)
c'est la définition d'une fonction impaire
3)
Écrire sans valeur absolue
si 2x + 1 >0 soit x > -1/2 alors |2x + 1| = 2x +1
si 2x + 1 < 0 soit x < -1/2 alors |2x + 1| = opposé de 2x + 1 = -2x - 1
on fait de même pour 2x - 1
x -1/2 1/2
|2x + 1| -2x - 1 2x + 1 2x + 1
|2x - 1| -2x + 1 -2x + 1 2x - 1
• pour x ∈ ]-∞ ; -1/2] f(x) = -2x - 1 - x - (-2x + 1) =
= -2x - 1 - x + 2x - 1
f(x) = -x - 2
• pour x ∈ ]-1/2 ; 1/2] f(x) = 2x + 1 - x - (-2x + 1)
= 2x + 1 -x + 2x -1
f(x) = 3x
• pour x ∈ ]1/2 ; +∞[ f(x) = 2x + 1 - x - (2x - 1)
= 2x + 1 - x - 2x + 1
f(x) = -x + 2
4)
Donner le tableau de variation
x -1/2 0 +1/2
-x - 2 ↘ ////////////////////////////////////////////////////////////////
3x ///////////////////// ↗ ////////////////
-x + 2 /////////////////////////////////////////////////////////////////// ↘
x -∞ -1/2 0 +1/2 +∞
f(x) +∞ 3/2
↘ ↗ ↘
-3/2 -∞
