Bonjour,
/!\ Début de l'exercice en pièce jointe.
▪️L'aire du rectangle est donnée par la fonction de second degré f(x) = 2x² - 3x - 9 qui, en théorie doit te rappeler quelque chose...
↣Nous cherchons à présent à connaître la valeur de x pour laquelle l'aire du rectangle est égale à 11, ce qui revient à résoudre l'équation suivante :
↬f(x) =11
[tex] \\ [/tex]
1) Première méthode : utiliser un tableur.
Cette méthode est, à mon sens, celle que tu dois utiliser étant donné qu'on met à ta disposition un tableur.
Pour trouver la valeur qui satisfait notre équation, cherche dans la colonne B, soit la colonne des images le nombre 11. On regarde ensuite dans la colonne A, soit la colonne des antécédents la valeur de x qui correspond.
⇒Nous trouvons [tex] \green{\boxed{\bold{ x = 4}}} [/tex]
[tex] \\ [/tex]
2) Deuxième méthode : résoudre l'équation.
Comme je l'ai dit précédemment, trouver la valeur de x pour laquelle l'aire du rectangle est égale à 11 revient à résoudre l'équation f(x) = 11.
[tex] \rightarrow [/tex] Nous avons donc :
f(x) = 11 ⇔ 2x² - 3x - 9 = 11
Pour tenter d'utiliser la formule quadratique dont je te donne la formule juste en dessous, nous devons suivre quelques étapes :
[tex] \sf{Formule \: quadratique:} \\ \sf{x = \frac{ - \red{b} \pm \sqrt{\Delta}}{2 \green{a}} } \\ \implies \sf{x = \frac{ - \red{b} \pm \sqrt{ \red{{b}}^{2} - 4 \green{a} \blue{c}}}{2 \green{a}} } \\ \\ \sf{Avec \: \Delta = \red{{b}}^{2} - 4\green{a}\blue{c} } [/tex]
▪️Il est important de savoir que cette formule n'est applicable seulement qu'aux expressions de la forme :
[tex] \sf{ \green{a}{x}^{2} + \red{b}{x}^{2} + \blue{c} = 0} \: \: \: \: \: \: \: \sf{Avec \: \green {a} \neq 0} [/tex]
[tex] \\ \\ [/tex]
↦(Étape a) : On essaye d'obtenir 0 dans un des deux membres de l'équation :
2x² - 3x - 9 = 11 ⇔ 2x² - 3x - 20 = 0
[tex] \\ [/tex]
↦(Étape b) : On identifie les coefficients [tex] \green{a} [/tex] , [tex] \red{b} [/tex] et [tex] \blue{c} [/tex] :
[tex] \overbrace{ \green{2}}^{ \green{a}}{x}^{2} \underbrace{ \red{- 3}}_{ \red{b}}x \: \: \overbrace{ \blue{- 20} }^{ \blue{c}} = 0 \\ \\ \rightarrow \green{a = 2} \: \: \: \: \: \\ \rightarrow \red{b = - 3} \: \: \\ \rightarrow \blue{c = - 20} [/tex]
[tex] \\ [/tex]
↦(Étape c) : On détermine le signe du discriminant (∆) qui détermine le nombre de solutions réelles:
[tex] \sf{\Delta = \red{{b}}^{2} - 4\green{a}\blue{c} } \: \: \: \: \: \: \: \\ \implies \sf{\Delta} = \sf{\red{( - 3)}^{2} - 4 \times \green{2} \times \blue{ (- 20)}} \\ \implies\sf{\Delta = 9 - ( - 160)} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \implies \sf{\Delta = 169} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: [/tex]
- Si ∆ > 0 , l'équation admet 2 solutions réelles distinctes .
- Si ∆ = 0 , l'équation admet 1 solutions réelle (appelée solution double).
- Si ∆ < 0 , l'équation n'admet pas de solution réelle (mais admet deux solutions complexes et conjuguées).
Ici, ∆ = 169 > 0 ; l'équation admet 2 solutions réelles distinctes.
[tex] \\ [/tex]
↦(Étape d) : On détermine les solutions de l'équation:
[tex] \sf{ On \: appelle \: x_1 \: et \: x_2 \: les \: solutions \: de \: l'\acute{e}quation} \\ \sf{x_1 = \frac{ - \red{b} \: \boxed{ - } \sqrt{\Delta}}{2 \green{a} }} \: \: \: \: \sf{et} \: \: \: \: \: \sf{x_2 = \frac{ - \red{b} \: \boxed{ + } \sqrt{\Delta}}{2 \green{a} }} [/tex]
[tex] \\ [/tex]
[tex] \sf{x_1= \frac{ - \red{( - 3)} \: - \sqrt{169}}{2 \green{ \times{2}} }} \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf{x_1 = \frac{ 3 \: - 13}{4 }} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ { \sf{x_1 = \frac{ - 10}{4} } } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf{ \green{ \bold{x_1 = - 2.5}}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: [/tex]
et
[tex] \sf{x_2 = \frac{ - \red{( - 3)} \: + \sqrt{169}}{2 \green{ \times{2}} }} \\ \\ \sf{x_2 = \frac{ 3 \: + 13}{4 }} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ { \sf{x_2 = \frac{ 16}{4} } } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf{ \green{ \bold{x_2 = 4}}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: [/tex]
[tex] \\ [/tex]
↦(Étape e) : On répond au problème :
On serait tenté de dire que l'aire du rectangle est égale à 11cm² pour x = 4 et pour x = -2,5.
Cependant, on se rappelle d'une chose :
Une distance ne peut en aucun cas être négative. Or, si x = -2,5 , alors la largeur [tex] \orange{l = x - 3} [/tex] serait égale à [tex] -2,5 - 3 = -5,5 [/tex] . -5,5 étant négatif , alors 4 est la seule solution du problème.
[tex] \\ \\ [/tex]
▪️Je ne suis pas resté longtemps sur la double distributivité donc si tu as besoin d'une petite aide, je de conseille de jeter un coup à ce devoir :
↣https://nosdevoirs.fr/devoir/5012324
[tex] \\ [/tex]
Bonne journée.
