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Bonjour, je dois déterminer le périmètre minimal d'un rectangle d'aire 100cm².
Pour cela, j'ai trouvé la fonction f(x)= (100/x)+x
Bien que je pense avoir la bonne réponse je ne sais pas comment affirmer que la valeur minimal est atteint pr x=10 car je ne sais pas comment justifier que la fonction est ensuite croissante sur [10;+infini]. Merci pour votre aide!

Sagot :

croisierfamily

Réponse :

c' est pour un carré de 10 cm de côté

qu' on aura le Périmètre mini de 40 cm !

Explications étape par étape :

■ on apprend au Collège que le Périmètre mini

  d' un rectangle de 100 cm² est en fait le Périmètre

  d' un carré de 10 cm de côté ( soit 40 cm ) ♥

■ démonstration :

   Périmètre = 2(Longueur + largeur)   ♥

   Aire = L * largeur = 100 cm² donne largeur = 100/L ;

    donc Périmètre = 2(L + 100/L) = 2L + 200/L

■ étude de la fonction P telle que P(x) = 2x + 200/x :

  intervalle d' étude = [ 1 ; 50 ]

  dérivée P ' (x) = 2 - 200/x²

                cette dérivée est nulle pour x = 10

  tableau :

  x -->     1       5        10      20      40      50

var --> décroissante 0      croissante

P(x) --> 202   50       40      50      85     104

■ on peut tracer l' arc d' Hyperbole représentant la fonction P .

■ le carré fait bien partie de la famille des rectangles ! ♥ ☺

■ conclusion :

  c' est bien pour un carré de 10 cm de côté

      qu' on aura le Périmètre mini de 40 cm !

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