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Sagot :
Réponse :
Exercice 3
Dans un repère du plan soient les point A(3 ; 4), B(1 ; -1) et C(6 ; -2).
1. Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB).
soit M(x ; y) tel que les vecteurs AM et AB soient colinéaires
vec(AM) = (x - 3 ; y - 4)
vec(AB) = (- 2 ; - 5)
det(vec(AM) ; vec(AB)) = XY' - X'Y = 0 ⇔ (x - 3)*(- 5) - (- 2)*(y - 4) = 0
⇔ - 5 x + 15 + 2 y - 8 = 0 ⇔ - 5 x + 2 y + 7 = 0
2. Déterminer une équation cartésienne de la droite (d) passant par I milieu de [AC] et parallèle à (AB).
I milieu de (AC) ⇒ I((6+3)/2 ; (- 2+4)/2) = I(9/2 ; 1)
(d) // (AB) ⇔ ont même vecteurs directeurs
donc - 5 x + 2 y + c = 0
I(9/2 ; 1) ∈ (d) ⇔ - 5*9/2 + 2*1 + c = 0 ⇔ - 41/2 + c = 0 ⇔ c = 41/2
donc - 5 x + 2 y + 41/2 = 0 ⇔ - 10 x + 4 y + 41 = 0
3. Soit (d’) la droite d’équation (d’) : -16x + y + 98 = 0.
Prouver que (d’) et (AB) sont sécantes.
soit vec(u) = (- 1 ; - 16) vecteur directeur de (d')
vec(v) = (- 2 ; - 5) / / / (AB)
det(vec(u) ; vec(v)) = - 1*(- 5) - (-2)*(-16) = 5 - 32 = - 27 ≠ 0
donc les vecteurs directeurs u et v ne sont pas colinéaires
donc les droites (d') et (AB) ne sont pas // donc elles sont sécantes
Calculer les coordonnées de ce point d’intersection, noté D.
(d') : -16x + y + 98 = 0. ⇔ y = 16 x - 98
(AB) : - 5 x + 2 y + 7 = 0 ⇔ y = 5/2) x - 7/2
16 x - 98 = 5/2) x - 7/2 ⇔ 16 x - 5/2 = - 7/2 + 98 ⇔ 27/2)x = 189/2
x = 189/27 = 7 et y = 5/2)*7 - 7/2 = 14
donc les coordonnées de D sont : (7 ; 14)
Explications étape par étape :
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