Bonjour,
[tex] \bold{\red{\underline{Exercice \: 1 :}}} [/tex]
1) Développer et réduire l'expression P :
P = (x + 12)(x + 2)
Pour développer cette expression, c'est à dire passer d'un produit de facteurs à une somme, nous pouvons utiliser la double distributivité :
[tex]( \orange{a} + \blue{b})( \green{c} + \red{d}) = \orange{a} \green{c} + \orange{a} \red{d} + \blue{b} \green{c} + \blue{b} \red{d}[/tex]
[tex] \hookrightarrow [/tex] Pour y voir plus clair, remplaçons les lettres de la formule générale par les chiffres que nous avons :
- [tex] \orange{a} [/tex] = x
- [tex] \blue{b} [/tex] = 12
- [tex] \green{c} [/tex] = x
- [tex] \red{d} [/tex] = 2
[tex] \hookrightarrow [/tex] Il ne nous reste plus qu'à appliquer notre formule :
[tex]( \orange{x} + \blue{12})( \green{x} + \red{2}) \\ = \orange{x} \times \green{x} + \orange{x} \times \red{2} + \blue{12} \times \green{x} + \blue{12} \times \red{2} \\ = {x}^{2} + 2x + 12x + 24 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \boxed{ = {x}^{2} + 14x + 24 } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: [/tex]
[tex] \\ \\ [/tex]
2) Calculer la valeur numérique de P pour x = 1 :
[tex] \hookrightarrow [/tex] Si x = 1 , écrivons l'expression de P avec 1 à la place de x :
[tex]{ \red{x}}^{2} + 14 \red{x }+ 24 \\ = { \blue{1}}^{2} + 14 \times \blue{1} + 24 \\ = 1 + 14 + 24 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \boxed{= 39} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: [/tex]
3) Factoriser l'expression Q :
Q = (x + 7)² - 25
[tex] \hookrightarrow [/tex] Réécrivons cette expression de manière à pouvoir utiliser une identité remarquable :
Q = (x + 7)² - 5²
[tex] \leadsto [/tex] Nous remarquons que l'expression est écrite sous la forme d'une différence de deux carrés dont la factorisation est donnée par la formule suivante :
[tex] \green {a}^{2} \bold{-} \red{b}^{2} = ( \green{a} \bold{ - } \red{b})( \green{a} \bold{ + } \red{b})[/tex]
[tex] \hookrightarrow [/tex] Nous appliquons cette formule :
[tex]Q = \overbrace{ \green{ {(x + 7 )}}^{2} }^{ \green{ {a}}^{2} } - \overbrace{ \red{{5}}^{2} }^{ { \red{b}}^{2} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ Q =( \green{x + 7} \bold{ - } \red{5})( \green{x + 7} \bold{ + } \red{5}) \\ \boxed{Q =(x + 2)(x + 12)} \: \: \: \: \: \: \: \: \: [/tex]
(Je crois que j'ai déjà vu cette expression quelque part)
4) Calculer la valeur numérique de Q pour x = -2 :
[tex] \hookrightarrow [/tex] Si x = -2 , écrivons l'expression de Q avec -2 à la place de x :
[tex]Q = ( \blue{x} + 2)( \blue{x} + 12) \\ Q = ( \orange{-2} + 2)( \orange{-2} + 12) \\ Q =0 \times 10 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \boxed{Q = 0} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: [/tex]
[tex] \\ \\ \bold{\red{\underline{Exercice \: 2 :}}} [/tex]
E = 4x² - 24x + 36
1) Calculer la valeur numérique de E pour x = 0,5 :
[tex] \hookrightarrow [/tex] Si x = 0,5 , écrivons l'expression de E avec 0,5 à la place de x :
[tex]E = 4 \green{x}^{2} - 24 \green{x} + 36 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ E = 4 \times \purple{0.5}^{2} - 24 \times \purple{0.5} + 36 \\ E =4 \times 0.25 - 12 + 36 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ E =1 + 24 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \boxed{E =25} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: [/tex]
2) Factoriser l'expression E :
E = 4x² - 24x + 36
[tex] \hookrightarrow [/tex] Encore une fois, réécrivons cette expression de manière à pouvoir utiliser une identité remarquable :
E = (2x)² - 2×2x×6 + 6²
[tex] \leadsto [/tex] Nous pouvons utiliser l'identité remarquable suivante :
[tex] \red{a}^{2} - \green{2 \times } \red{a} \times \blue{b} + \ \blue{b}^{2} = {( \red{a} - \blue{b})}^{2}[/tex]
Nous avons :
- [tex] \red{a} [/tex] = 2x
- [tex] \blue{b} [/tex] = 6
[tex] E = \red{2x}^{2} - \green{2 \times } \red{2x} \times \blue{6} + \blue{6}^{2} \\ \boxed{ E ={( \red{2x} - \blue{6})}^{2}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: [/tex]
3) Quelles est la valeur de x pour laquelle l'expression E s'annule ?
Pour le savoir, resolvons l'équation E = 0 :
E = 0 [tex] \Longleftrightarrow [/tex] (2x - 6)² = 0
▪️On sait que si le produit de facteurs est nul, alors au moins un des facteurs est nul. Dans cette expression, les deux facteurs sont les mêmes étant donné que (2x - 6)² = (2x - 6)(2x - 6). De ce fait, nous avons :
[tex] \\ \implies 2x - 6 = 0 \\ \implies2x = 6 \: \: \: \: \: \: \: \\ \implies x= \frac{6}{2} \: \: \: \: \: \: \\ \boxed{\implies x= 3 } \: \: \: \: \: [/tex]
[tex] \\ \\ [/tex]
▪️ Si tu veux en apprendre plus sur les identités remarquables, tu peux consulter ce lien :
↣https://nosdevoirs.fr/devoir/1963514
[tex] \\ \\ [/tex]
Bonne journée
