Réponse :
pour tout entier naturel n, un = e⁻²ⁿ
1) justifier que la suite u est géométrique et indiquer son premier terme et sa raison
un+1 = e⁻²⁽ⁿ⁺¹⁾
= e⁻²ⁿ x e⁻²
= e⁻²un
donc u est une suite géométrique de premier terme u0 = e⁰ = 1
et de raison q = e⁻²
2) déterminer la limite de la suite u
lim un = lim (e⁻²ⁿ) = lim e^N = 0
n→+∞ n→+∞ N→ - ∞
posons N = - 2 n
3) exprimer la somme des termes Sn = u0 + u1 + ...... + un en fonction de n
Sn = u0 x (1 - (e⁻²)ⁿ⁺¹)/(1 - e⁻²) = (1 - e⁻ⁿ⁻²)/(1 - 1/e²)
Sn = (1 - e⁻ⁿ⁻²)e²/(e² - 1) = (e² - e⁻ⁿ)/(e² - 1)
4) lim Sn = lim (e² - e⁻ⁿ)/(e² - 1) = e²/(e² - 1)
n→ + ∞ n→ + ∞
car lim e⁻ⁿ = lim 1/eⁿ = 0
n→ + ∞ n→ + ∞
Explications étape par étape :