Bonjour,
1.a) U(n+1) = U(n) * (1 + 1,6%) = U(n) * (1 + 0,016) = 1,016 U(n)
U(n) est donc une suite géométrique dont le premier term est U(0) = 1864 et la raison est 1,016
b) On le montre par récurrence.
U(0) = 1864 * (1,016)⁰
Supposons que U(n) = 1864 * [tex]1,016^{n}[/tex] et montre que l'expression est vrai pour U(n+1)
On a U(n+1) = 1,016 U(n) = 1,016 * 1864 * [tex]1,016^{n}[/tex] = 1864 * [tex]1,016^{n+1}[/tex]
cqfd
2.a) exp(x) est strictement croissante de IR vers IR*
l'équaiton exp(x) = m admet donc:
- Une solution unique si m > 0
- Aucune solution si m ≤ 0
b) on a donc [tex]e^{a}[/tex] = 1,016
D'où U(n) = 1864 * [tex](e^{a})^{n}[/tex] = 1864 [tex]e^{an}[/tex]
3.a) L'équation admet une solution unique.
b) On a V(n) = V(0) * [tex]q^{n}[/tex] avec q = [tex]e^{a}[/tex]
Donc V(n) = V(0) * [tex]e^{an}[/tex]
