Réponse :
1) f(x) = (4 x + 1)e⁻ˣ
la dérivée f ' de la fonction f est définie par :
b) f '(x) = (3 - x)e⁻ˣ car f '(x) = (uv)' = u'v +v'u = 4e⁻ˣ + (- e⁻ˣ)(4 x + 1)
f '(x) = 4e⁻ˣ - e⁻ˣ (4 x + 1) = (4 - 4 x - 1)e⁻ˣ = (3 - 4 x)e⁻ˣ
2) l'ensemble des solutions de l'inéquation e - e⁻³⁺⁰¹ˣ > 0 est :
b) ]- ∞ ; 40[ car e¹ - e⁻³⁺⁰¹ˣ > 0 ⇔ e¹ > e⁻³⁺⁰¹ˣ ⇔ 1 > - 3 + 0.1 x
⇔ 4 > 0.1 x ⇔ x < 4/0.1 ⇔ x < 40 ⇔ S = ]- ∞ ; 40[
3) pour tout réel x, eˣ⁺³ - 3eˣ a le même signe que :
a) e³ - 3 car eˣ⁺³ - 3eˣ = eˣ * e³ - 3eˣ = (e³ - 3)eˣ comme eˣ > 0
donc le signe de eˣ⁺³ - 3eˣ a le même signe que e³ - 3
4) pour tout réel x, e²ˣ⁺³ * eˣ est égal à :
a) (eˣ⁺¹)³ car e²ˣ⁺³ * eˣ = e³ˣ⁺³ = e³⁽ˣ⁺¹⁾ = (eˣ⁺¹)³
Explications étape par étape :
