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Bonsoir,
Soit [tex]g[/tex] la fonction définie sur [tex]\mathbb{R}[/tex] par :
[tex]g(x)=4x^{3}-21x^{2} +18x+2[/tex]
Cherchons les équations réduites des tangentes horizontales à la courbe représentative de la fonction [tex]g[/tex].
Il faut d'abord dériver cette fonction.
D'où :
[tex]g'(x)=4\times 3x^{2} -21\times 2x+18\times 1+0\\g'(x)=12x^{2} -42x+18[/tex]
On cherche des équations réduites des tangentes horizontales à [tex]\mathcal{C}_{g}[/tex].
Or, si ce sont des tangentes horizontales, le nombre dérivé [tex]g'(a)[/tex], correspondant au coefficient directeur de la tangente [tex]\mathcal{C}_{g}[/tex] au point d'abscisse [tex]a[/tex], est nul.
Ainsi, on sait que dans notre cas : [tex]g'(a)=0[/tex]
On résoud alors l'équation [tex]g'(x)=0[/tex] :
Or, [tex]\Delta=(-42)^{2}-4\times 12\times 18=900[/tex]
[tex]\sqrt{\Delta}=\sqrt{900}=30[/tex]
Comme [tex]\Delta > 0[/tex], cette équation admet deux racines distinctes :
[tex]x_{1}=\dfrac{42-30}{24}=\dfrac{1}{2}\\ \\ x_{2}=\dfrac{42+30}{24}=3[/tex]
Les équations réduites des tangentes horizontales à [tex]\mathcal{C}_{g}[/tex] aux points d'absisse [tex]\dfrac{1}{2}[/tex] et 3 sont :
[tex]y=f'(\frac{1}{2})(x-0)+f(\frac{1}{2})[/tex] et [tex]y=f'(3)(x-0)+f(3)[/tex]
[tex]y=f(\frac{1}{2})[/tex] et [tex]y=f(3)[/tex]
[tex]y=6,25[/tex] et [tex]y=-25[/tex]
En espérant t'avoir aidé.
