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Bonjour, je ne comprend pas une activité en spe maths en première : (merci d’avance)
Une personne envisage de louer un appartement à partir du 1er janvier 2023.
Le propriétaire lui propose trois formules de contrats. Dans les trois cas, le loyer annuel initial est de
8 880 €.
PARTIE A : Contrat n° 1
Le bon choix
Chaque 1er janvier, le loyer annuel subira une augmentation de 5 %. Pour tout entier naturel n, on
note uzle montant annuel de l’année 2023 +n.
1. Calculer u1 et u2.
2. Établir une relation de récurrence entre un+1 et un puis en déduire la nature de (un).
3. En déduire une expression du terme un en fonction de n.
4. On note Sn la somme totale des loyers payés à la fin des n premières années de location.
Déterminer une expression de Sn en fonction de n.
PARTIE B : Contrat n° 2
Chaque 1er janvier, le loyer annuel subira une augmentation de 500 €. Pour tout entier naturel n, on
note vn le montant annuel de l’année 2023 + n.
1. Calculer v1 et v2.
2. Établir une relation de récurrence entre vn+1 et vn puis en déduire la nature de (vn).
3. En déduire une expression du terme vn en fonction de n.
4. On note Tn la somme totale des loyers payés à la fin des n premières années de location.
Déterminer une expression de Tn en fonction de n.

Sagot :

Bernie76

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

C'est une application du cours, le cours  qu'il faut connaître.

Partie A :

1)

Une valeur qui augment de 5% est multipliée par (1+5/100)=1.05

Donc :

U(1)=8880 x 1.05=....

U(2)=U(1) x 1.05=...

2)

Donc :

U(n+1)=U(n) x 1.05

qui prouve que (U(n)) est une suite géométrique de raison q=1.05 et de 1erterme U(0)=8880

3)

Le cours dit :

U(n)=U(0) x q^n soit ici :

U(n)=8880 x 1.05^n

4)

Le cours dit ( et il faut le savoir par coeur ) :

S(n)=1er terme x (1-q^nb de termes ) / (1-q)

Soit ici :

S(n)=8880 x (1-1.05^(n+1)) / (1-1.05)

Comme on commence à U(0) , on a (n+1) termes.

Partie B :

1)

V(1)=8880+500=...

V(2)=V(1)+5000=...

2)

Donc :

V(n+1)=V(n)+500

qui prouve que (V(n)) est une suite géométrique de raison r=500 et de 1erterme V(0)=8880.

3)

Le cours dit :

V(n)=V(0)+n x r soit ici :

V(n)=8880+500n

4)

Le cours dit :

T(n)=nb de termes x (1er terme + dernier terme)/2

Soit ici :

T(n)=(n+1) x (8880 + 8880+500n)/2

T(n)=(n+1)(8880+250n)

croisierfamily

Réponse :

Explications étape par étape :

■ étude du 1er contrat " + 5% par an " :

   Uo = 8880 €

   U1 = 8880 * 1,05 = 9324 €

   U2 = 8880 * 1,05² = 9790,2o €

   U3 = U2 * 1,05 = 10279,71 €uros .

   Un = 8880 * 1,05^n   ♥

   ( Un ) est donc bien une suite Géométrique de raison q = 1,05

    Somme Sn = 8880 * [ 1 - 1,05^(n+1) ] / ( -0,05 )

                       = 177600 * [ 1,05^(n+1) - 1 ] .

   remarque :

   on compte dans la Somme le loyer de départ ( 8880 € )

    puis les n loyers suivants --> soit (n+1) loyers au total ! ☺

■ étude du contrat " + 500 €/an " :

   Vo = 8880 ; V1 = 9380 ; V2 = 9880 ; V3 = 10880 ; ...

   Vn = 8880 + 500n   ♥

  ( Vn ) est donc bien une suite arithmétique .

   somme Tn = (n+1) * (8880 + 8880+500n) / 2

                      = (n+1) * (8880 + 250n) .

                      = 250n² + 9130n + 8880 .

■ conclusion pour n = 8 ( année 2o31 ) :

  Somme de Uo à U8 ≈ 97915,89 €uros

  somme de Vo à V8 = 97920 €uros

  Le premier contrat revient moins cher pour le locataire

  pour un bail de 9 années ( de 2o23 à 2o31 incluses )

  en négligeant toute inflation ! ☺

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