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Bonjour! je suis bloquée sur cet exercice de mon devoir maison, pouvez-vous m’aider s’il vous plaît ? Merci d’avance et bonne journée :)

On considère les fonctions f et g définies sur R par : f(x) = x^3 et g(x)= x^2 + x + 2 ainsi que leurs
courbes respectives Cf et Cg dans un repère.
1) Montrer que le point A (2;8 ) appartient aux deux courbes.
2) Soit h la fonction définie su r R par: h(x) = f(x) - g(x).
a) Déterminer le tableau de variations de la fonction h.
b) En déduire le tableau de signes de h (x).
c) En déduire la position de la courbe Cf par rapport à la courbe Cg suivant les valeurs de x.

Sagot :

Réponse :

Explications étape par étape :

f(x)=x³ et g(x)=x²+x+2

1) f(1)=8   et g(1)=8, donc  le point A appartient aux deux courbes.

2) h(x)= f(x)-g(x) =x³-x²-x-2  

a)étude de h(x)

Limites si x tend vers-oo , h(x) tend vers -oo

si x tend vers+oo, h(x) tend vers+oo

Dérivée: h'(x)=3x²-2x-1

h'(x) =0 pour x1=-1/3 et x2=1  ceci via delta

Tableau de signes h'(x) et de variations de h(x)

x         -oo                         -1/3                          1                            +oo

h'(x)                   +                0            -               0           +

h(x)    -oo       croît           h(-1/3)    décroit       h(1)        croît         +oo

h(-1/3)= ......(valeur<0) et h(1)=-5

D'après le TVI, h(x)=0 admet  une et une seule solution comprise entre 1 et +oo . Elle est évidente c'est x=2 .    (vérifie h(2)=0)  

b) h(x) est <0 sur ]-oo;  2[   et h(x)>0 sur ]2;+oo[  

c ) si x<2,  Cf est en dessous de Cg et si x>2 Cf est au dessus de Cg .

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Nota : une autre méthode pour déterminer le signe de h(x)  sans passer par l'étude  de la fonction.

h(x)=x³-x²-x-2 on a vu que h(x)=0 pour x=2 car f(2)=g(2)

donc h(x)=(x-2)(ax²+bx+c)

par comparaison des coefficients ou par une simple division euclidienne on voit que h(x)=(x-2)(x²+x+1)

l'expression x²+x+1=0 n'a pas de solution elle est donc toujours>0

par conséquent le signe de h(x) dépend uniquement du signe de (x-2)

h(x)<0, si x<2   et h(x)>0 si x >2

 

   

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