Coucouu,
Voici donc un bon exo type bac (je crois) qui traite sur un chapitre merveilleux : la fonction exponentielle ! Comme pour tous les chapitres de mathématiques, suffit de bien comprendre les bases, de connaitre les propriétés, et ça roule tout seul ;)
Déjà, à savoir : les exos de ce type paraissent long au vu du texte, alors qu'il n'y a que peu d'infos réellement utiles pour répondre aux questions. Donc, pas d'inquiétude !
1. On cherche à déterminer la température de la pièce à la sortie du four.
L'énoncé nous donne une fonction qui permet de connaitre la température de la pièce en fonction du temps. Ainsi, la sortie du four, correspond à t = 0. Pourquoi ? Parce que c'est à la sortie du four que commence le chrono. Par conséquent, on va calculer f(0), remplacer t par 0 et taper le calcul sur une calculatrice pour enfin trouver la réponse ! Simple, non ?
f(0) = 1370e^-0,0651*0 + 30
f(0) = 1370 + 30
f(0)= 1400
car e^(-0,0651*0) = e^0 = 1
Finalement, c'est largement faisable sans calculatrice :)
La température de la pièce à la sortie du four est de 1400°C.
2. a. A présent, on veut étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [0 ; + inf[. Pourquoi pas un nombre négatif ? Tout simplement, parce que le temps est positif, on démarre à partir de 0 heure quoi (en heure car t est en heure, c'est précisé dans le texte !). Ainsi, sur ce temps, la fonction aura une certaine allure et on cherche à l'étudier. Pour ce faire, on peut tracer un tableau, trouver d'abord le signe de f' (la dérivée) puis déduire la variation de f. En effet, si f' est positive sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle. Au contraire, si f' est négative sur un intervalle, alors f est décroissante sur ce même intervalle.
Calcul de la dérivée :
f'(t) = -0,0651*1370e^-0,0651*t
f'(t) = -89,187e^-0,0651*t
On sait que la fonction exponentielle est positive (c'est une propriété). Et, on a -89,187. C'est un produit, ainsi - * + = -.
Donc, la dérivée de la fonction est négative sur [0 ; + inf[.
Par conséquent, sur ce même intervalle, la fonction f est décroissante.
2. b. Ce résultat était prévisible dans ce contexte, car on sort un objet très chaud, on le place dans un milieu "normal" à 20°C peut-être, donc logiquement, au fil du temps, la température de l'objet va diminuer, donc l'allure de la courbe est prévisible.
3. On va calculer f(5), pour calculer la température de la pièce 5h après être sortie du four.
f(5) = 1370e^-0,0651*5 + 30
f(5) = 1019 (environ)
L'énoncé dit qu'une pièce peut être démoulée "dès lors que leur température est inférieure à 650°C". Ici, après 5h, la pièce est de 1019°C environ, et c'est supérieure à 650, donc, elle ne pourra être démoulée. (dsl petite pièce).
4. Pour déterminer le temps minimum à attendre, on va utiliser la calculatrice et ses nombreuses fonctionnalités. Si t'as besoin d'aide dessus tu peux me demander, sinon y'a toujours des explications sur internet en fonction de ta calculatrice. On trouve : à partir de 12,18 heures (--> 649,95 °C, on part du principe qu'il faut que ça soit strictement inférieur à 650).
0,18 h = 11 min environ
Donc le temps minimum est de 12 heures et 11 minutes.
5. a. On va résoudre l'équation (si on peut) :
f(t) = 25
1370e^-0,0651t + 30 = 25
1370e^-0,0651t + 30 - 25 = 0
1370e^-0,0651t + 5 = 0
Comment un chiffre plus grand que 0 pourrait être égal à 0 ? En effet, on a 1370 qui est multiplié à une exponentielle qui est positive puis on ajoute à cela 5, évidemment que le résultat sera égal à un nombre supérieur à 0 quelle que soit la valeur de t. On dit que la solution est l'ensemble vide, ne contient pas de solution dans cet intervalle quoi !
5. b. Pourquoi ce résultat était prévisible ? eh bien, quand on ne trouve pas la réponse, relisons l'énoncé pour ne pas oublier les détails (finalement il y a plus d'informations à prendre en compte, mais chaque chose en son temps...)
Il est dit dans l'énoncé "la température ambiante est maintenue à une température de 30°C". Ainsi, comment la pièce pourrait se refroidir jusqu'à atteindre une valeur inférieure à son milieu ? Impossible. Donc on sait déjà que la pièce ne mesurera pas 25°C au fil du temps.
Voilà, bonne soirée, et bon courage ! N'hésite pas si tu as des questions :)
