Réponse :
affirmation vraie ou fausse justifier
1) a) affirmation vraie ; Un+1 = 2Un + 5 n'est ni arithmétique ni géométrique
car une suite arithméque s'écrit Un+1 = Un + r et une suite géométrique s'écrit Un+1 = qUn
b) affirmation vraie ; Vn = Un + 5 est géométrique pour n ∈ N
car, Vn+1 = Un+1 + 5 = 2Un + 5 + 5 = 2Un + 10 = 2(Un + 5) = 2Vn
2) affirmation vraie ; pour n ∈ N , Un = - 1/(4 n + 1)
soit Un = f(n) où f(x) = - 1/(4 x + 1) définie sur [0 ; + ∞[
f est dérivable sur [0 ; + ∞[ et sa dérivée f '(x) = 4/(4 x + 1)² > 0 ⇒ f est croissante sur [0 ; + ∞[ par suite (Un) est croissante sur N
k = 63
3) ∑ 2^k = 2⁶⁴ - 1
i = 0
affirmation vraie
car S = 1 + 2 + 2² + ........ + 2⁶³
2S = 2 + 2² + 2³ + ......... + 2⁶⁴
2S - S = 2 + 2² + 2³ + ......... + 2⁶⁴ - (1 + 2 + 2² + ........ + 2⁶³) = 2⁶⁴ - 1
donc S = 2⁶⁴ - 1
4) affirmation fausse
car en établissant le tableau de variation de f sur [- 3 ; 2]
x - 3 - 2 1 2
f(x) croissante décroissante croissante
f '(x) + 0 - 0 +
en observant la courbe en pointillée on constate qu'entre [0 ; 1] f '(x) est positive alors que f est décroissante sur [- 2 ; 1]
Explications étape par étape :