Réponse :
Explications étape par étape :
■ f ' (x) = (2x - 2) / (x² + 1)
■ on va décomposer f ' (x) = 2x/(x²+1) - 2/(x²+1):
alors f(x) = Ln(x²+1) - 2 ArcTanx + Constante
■ recherche de la Constante :
f(0) = Ln 1 - 2ArcTan0 + C = 0 -2Atan0 + C = -2Atan0 + C = 1
donc C = 1 + 2Atan0 .
On peut prendre C = 1 .
f(1) = Ln2 - 2Atan1 + C = 2
donc C = 2 - Ln2 + 2Atan1 .
on devrait avoir 2 - Ln2 + 2Atan1 = 1 + 2Atan0
1 - Ln2 = 2Atan0 - 2Atan1
0,1534264 ≈ Atan0 - Atan1
0,1534264 ≈ kπ - π/4 + k'π
0,6137 ≈ 4kπ - π + 4k'π
0,6137 ≈ (4k - 1 + 4k')π
ce qui me semble impossible ! ☺
■ dérivée positive pour x > 1 .
■ tableau demandé :
x --> -∞ 0 1 2 +∞
f ' (x) -> négative 0 positive
f(x) --> +∞ 1 0,12 0,4 +∞
0,12 et 0,4 sont des valeurs arrondies ! ☺
