Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
1)U(n+1)=1,03Un +300
2)U1=1,03*5000+300=5450€
U2=1,03*5450+300=5913,5€
3)Vn=Un+10000
La suite Vn est géométrique si V(n+1)/Vn=constante.
V(n+1)=U(n+1)+10000=1,03Un+300+10000=1,03Un+10300
on factorise 1,03
V(n+1)=1,03(Un+10000)
on note que V(n+1)/Vn=1,03
la suite Vn est donc géométrique de raison q=1,03 et de premier terme
V0=U0+10000=15000
4)expression de Vn
Vn=15000*1,03^n
5)Expression de Un: on sait que Vn=Un+10000
donc Un=Vn-10000 d'où Un=15000*1,03^n -10000
vérifications U0=15000*1,03^0-10000=5000
U1=15000*1,03-10000=5450
calcul de U10=15000*1,03^10 -10000=.............(calculette)
6) la suite Un=15000*1,03^n-10000 est croissante car la raison q est >1
On peut aussi le prouver via la fonction dérivée de f(x)=15000*1,03^x-10000 sur N
f'(x)=15000*ln1,03*1,03^x , cette dérivée est toujours>0 car c'est un produit de valeurs >0; la fonction est donc croissante tout comme la suite Un.