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Bonjour, si quelqu'un pourrait m'aider au moins a me dire quel cours utiliser pour comprendre ce devoir maison à faire pour lundi 25/05:
Une entreprise fabrique des tubes en PVC.
Les coûts de production en milliers d’euros sont donnés par la fonction C définie sur [0 ; 50] par
C(x) = −(8 − 3x)(x − 5)où x représente le nombre de milliers de tubes fabriqués.
Par exemple si x = 1 ; alors le nombre de tubes fabriqués est de 1 000.
La recette, en milliers d’euros, obtenue en vendant les tubes est donnée sur [0 ; 50] par

R(x) = (x − 5)ଶ

1- A- Démontrer que B(x) = (x − 5)(−2x + 3) sur [0 ; 50].
B- Déterminer pour quelles valeurs de x, le bénéfice est strictement positif.
C- En déduire combien de tubes il faut produire et vendre pour que la recette soit supérieure aux coûts de
production.
2- Montrer que B(x) = −2(x − 3,25)ଶ + 6,125
3- On s’intéresse au bénéfice maximal que l’entreprise peut espérer dégager.
a. Résoudre l’inéquation B(x) ≤ 6,125.
b. Calculer l’image de 3,25.
c. En déduire que le bénéfice maximal est de 6,125 milliers d’euros et qu’il est atteint pour x = 3,25 milliers de
tubes.

Sagot :

Bernie76

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

1)

a)

B(x)=R(x)-C(x)

B(x)=(x-5)²-[-(8-3x)(x-5)]

B(x)=(x-5)(x-5) + (8-3x)(x-5)

Mise en facteur :

B(x)=(x-5)[(x-5)+(8-3x)]

B(x)=(x-5)(-2x+3)

b)

x-5 > 0 ==> x > 5

-2x+3 > 0 ==> x < 3/2 ou x < 1.5

Tableau de signes :

x----------->0..............1.5...............5..............50

(x-5)------>...........-.................-.......0.........+..........

(-2x+3)-->.......+.........0..........-................-..........

B(x)----->...........-........0.........+.......0......-.........

B(x) > 0 pour x ∈ ]1.5;5[

c)

x est en milliers  de tubes.

Il faut donc fabriquer et vendre entre 1501 et 4999 tubes pour avoir R(x) > C(x).

2)

On développe :

B(x)=(x-5)(-2x+3)=-2x²+3x+10x-15=-2x²+13x-15

Puis :

B(x)=-2(x-3.25)²+6.125=-2(x²-6.50x+10.5625)+6.125

B(x)=-2x²+13x-21.125+6.125=-2x²+13x-15

On a bien égalité entre les 2 développements.

3)

a)

B(x) ≤ 6.125 donne :

-2(x-3.25)²+6.125 ≤ 6.125

-2(x-3.25)² ≤ 0

Le carré (x-3.25) est toujours positif ou nul si x=3.25.

Donc :

-2(x-3.25)² est toujours ≤ 0 et vaut zéro pour x=3.25.

Donc B(x) ≤ 6.125 sur [0;50] et vaut 6.125 pour x=3.25.

b)

B(3.25)=-2(3.25-3.25)²=0

c)

De :

B(x) ≤ 6.125 sur [0;50] et vaut 6.125 pour x=3.25 , on déduit que :

Le bénéfice max est de 6 125 € pour 3 250 tubes fabriqués et vendus .

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