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Bonsoir,
f(x) = (1 + ln(x)) / x
Le domaine de définition de f est celui de la fonction ln soit
Df = ]0 ; +∞[
Pour 0< x <1 on a ln(x) < 0 soit 1 + ln(x) < 1
ou encore (1+ ln(x)) / x < 1/x
Or lim de 1/x quand x tend vers 0+ = -∞, d'où :
lim de f(x) quand x tend vers 0+ = -∞
l'axe des ordonnée est donc une asymptote en 0
Pour tout x > 1 on a 0 < ln(x) < √x d'où 0 < ln(x) / x < 1/√x
Or lim de 1/√x quand x tend vers +∞ = 0
On en déduit donc que lim en +∞ de f(x) = 1/x + ln(x) / x est = 0
L'axe des abscisses est donc une asymptote en +∞
lim de f(x) quand x tend vers +∞ = 0
f(x) = 0 ⇔ ln(x) = -1 ⇔ x = 1/e ≈ 0,368
on a ln'(x) = 1/x
d'où
f'(x) = [1/x * x - (1+ ln(x) ] / x² = (1 - 1 - ln(x)) / x² = -ln(x) / x²
f'(x) = 0 ⇔ ln(x) = 0 ⇔ x = 1
f admet donc un maximum en 1
on a f(1) = 1 + ln(1) = 1
