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bonjour vous pouvez m'aide pour mon exercice de la dérivation.​

Bonjour Vous Pouvez Maide Pour Mon Exercice De La Dérivation class=

Sagot :

Tenurf

Bonjour,

1)a- pour que f(x) soit définie nous devons avoir x-2 différent de 0

ce qui revient à dire x différent de 2

donc f est bien définie sur tout IR privé de 2

[tex]\boxed{D_f=]-\infty;2[\cup ]2;+\infty[}[/tex]

b-

prenons x réel différent de 2 et de 0

[tex]f(x)=\dfrac{x^2-x-1}{x-2}\\\\=\dfrac{x-1-\dfrac1{x}}{1-\dfrac{2}{x}}[/tex]

ce qui permet de lever les formes indéterminées

De plus

[tex]x^2-x-1=(x-\dfrac1{2})^2-\dfrac1{4}-1\\\\=(x-\dfrac1{2})^2-\dfrac{5}{4}\\\\=(x-\dfrac1{2}-\dfrac{\sqrt{5}}{2})(x-\dfrac1{2}+\dfrac{\sqrt{5}}{2})\\\\[/tex]

Les racines sont strictement majorées par 2.

[tex]\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} < \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} < \dfrac{1+\sqrt{9}}{2}=2[/tex]

Au voisinage de 2 suffisament proche de 2, c 'est positif et donc le signe de f(x) est le même que le signe de x-2

On peut aussi faire le tableau de signe si cela est plus parlant.

donc

[tex]\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty\\\\\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)=-\infty\\\\\displaystyle \lim_{x \to 2^+} f(x)=+\infty\\\\\displaystyle \lim_{x \to 2^-} f(x)=-\infty\\\\[/tex]

2)a- f est dérivable sur son domaine car quotient de fonctions qui le sont et la fonction au dénominateur ne s'annule pas

b-

pour x réel différent de 2

[tex]f'(x)=\dfrac{(2x-1)(x-2)-(x^2-x-1)}{(x-2)^2}\\\\=\dfrac{(2x^2-4x-x+2-x^2+x+1)}{(x-2)^2}\\\\=\dfrac{(x^2-4x+3)}{(x-2)^2}\\\\=\dfrac{(x-1)(x-3)}{(x-2)^2}\\\\[/tex]

c-

f'(x) est positive pour x plus petit que 1

f'(x) est négative pour x plus petit que 2 et plus grand que 1

f'(x) est négative pour x plus petit que 3 et plus grand que 2

f'(x) est positive pour x plus grand que 3

la courbe en pièce jointe

Merci

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