alexandre0519
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Bonjour à tous, je n'arrive pas à comprendre un calcul de somme :


Selon le corrigé : [tex]\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}= 1-\frac{1}{n+1}[/tex]


On reconnaît une somme téléscopique mais en applicant la formule [tex]\sum_{k=1}^{n}a_{k+1}-a_k=a_{n+1}-a_k[/tex], je trouve que le signe des termes est inversé par rapport au corrigé

Merci

Sagot :

Tenurf

Bonjour,

déjà ce que tu as écrit n'est pas possible

[tex]\displaystyle \sum_{k=1}^n \left( a_{k+1}-a_k\right)=a_{n+1}-a_k[/tex]

k est une variable muette dans la somme, tu ne peux pas la retrouver dans l'expression de droite, j imagine que tu voulais écrire

[tex]\displaystyle \sum_{k=1}^n \left( a_{k+1}-a_k\right)=a_{n+1}-a_{\bf{1}}[/tex]

Cette formule est correcte, et si tu veux l'appliquer dans ton exemple, comment pourrais-tu procéder?

Notons pour n entier non nul

[tex]a_n=\dfrac1{n}[/tex]

Dans ce cas

[tex]\displaystyle \sum_{k=1}^n \left( a_{k+1}-a_k\right)\\\\\displaystyle =\sum_{k=1}^n \left( \dfrac1{k+1}-\dfrac1{k}\right)\\\\=\dfrac1{n+1}-1[/tex]

donc du coup

[tex]\displaystyle \sum_{k=1}^n \left( \dfrac1{k}-\dfrac1{k+1}\right)\\\\\displaystyle =-\sum_{k=1}^n \left( \dfrac1{k+1}-\dfrac1{k}\right)\\\\=1-\dfrac1{n+1}[/tex]

Merci

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