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Sagot :
Bonjour
a) Démontrer que
[tex]1 + a {}^{2} \geqslant 2a[/tex]
revient à démontrer que ( en enlevant -2a de chque coté )
[tex]1 + a {}^{2} - 2a \geqslant 2a - 2a[/tex]
[tex]1 + a {}^{2} - 2a \geqslant 0[/tex]
[tex]a {}^{2} - 2a + 1 \geqslant 0[/tex]
Si on écrit différemment :
a² - 2 × a × 1 + 1²
On reconnaît une identité remarquable :
[tex](a - 1) {}^{2} [/tex]
Or comme on sait depuis toujours qu'un carré est positif
on a donc
[tex](a - 1) {}^{2} \geqslant 0[/tex]
et donc pour tout réel a
[tex]1 + a {}^{2} \geqslant 2a[/tex]
b)
On sait que pour tout réel a, 1 + a² ≥ 2a
donc pour tout réel positif a, 1 + a² ≥ 2a
Pour tout réel positif b, 1 + b² ≥ 2b
donc ( 1 + a² ) ( 1 + b² ) ≥ 2a × 2b
( 1 + a² ) ( 1 + b² ) ≥ 4ab
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