Réponse :
bonsoir
Explications étape par étape :
f(x) = 3x² + 2x - 1
1) résoudre graphiquement
- f(x) = 0 ⇒ pour x = -1 et x = 1/3
on vérifie :
f(-1) = 3(-1)² + 2(-1) - 1 = 3 - 2 - 1 = 0
f(1/3) = 3(1/3)² + 2(1/3) - 1 = 1/3 + 2/3 - 1 = 0
- f(x) = - 1 ⇒ pour x = - 2/3 et x = 0
on vérifie :
f(-2/3) = 3(-2/3)² + 2(-2/3) - 1 = 3 (4/9) -4/3 - 1 = 4/3 - 4/3 - 1 = -1
f(0) = 3 × 0 + 2 × 0 - 1 = -1
- f(x) ≤ 0 pour -1 ≤ x ≤ 1/3
-----------------------------------------------------
2)
g(x) = -x - 1
a )
tracer g(x) ⇒ voir graphique
g(-1) = 1 - 1 = 0
g( 0) = - 1
g( 0,5) = -1,5
b)
graphiquement f(x) = -x -1 pour x = -1 et pour x = 0
les solutions de l'équation sont x = -1 et x = 0
-------------------------------------------------
3)
f(x) = 3x² + 2x - 1
déterminer les antécédents de -1 par f c'est résoudre
f(x) = - 1
soit 3x² + 2x - 1 = - 1
⇒ 3x² + 2x -1 + 1 = 0
⇒ 3x² + 2x = 0
⇒ x(3x + 2 ) = 0 →→ un produit de facteurs est nul si un des facteurs est nul
soit pour x = 0
soit pour 3x + 2 = 0 → 3x = -2 → x = - 2/3
les antécédents de - 1 par f sont x = - 2/3 et x = 0
---------------------------------------------------
4)
résoudre f(x) ≤ g(x)
soit 3x² + 2x - 1 ≤ - x - 1
3x² + 2x + x + 1 - 1 ≤ 0
3x² + 3x ≤ 0
3x(x + 1) ≤ 0
⇒ 3x ≤ 0 pour x ≤ 0
⇒ x + 1 ≤ 0 pour x ≥ -1
donc f(x) ≤ g(x) pour -1 ≤ x ≤ 0
---------------------------------------------------
5)
a)
f(x) = 4x² - (x - 1)² ⇒ on développe
⇒ f(x) = 4x² - ( x² -2x + 1)
⇒ f(x) = 4x² - x² + 2x - 1
⇒ f(x) = 3x² + 2x - 1
b)
f(x) = 4x² - (x - 1)² ⇒ identité remarquable telle que
a² - b² = (a + b) (a - b)
avec ici a²= 4x² soit a = 2x et b² = (x - 1)² donc b = x - 1
⇒ (2x + x - 1) (2x - x + 1)
⇒ (3x - 1)( x + 1)
c)
résoudre f(x) = 0
⇒ (3x - 1 )(x + 1) = 0 → un produit de facteurs est nul si un des facteurs est nul
soit pour 3x - 1 = 0 donc pour x = 1/3
soit pour x + 1 = 0 donc pour x = -1
les solutions de l'équation sont x = -1 et x = 1/3
d)
f(x) ≤ 0
⇒ 3x - 1 ≤ 0 soit 3x ≤ + 1 → 3x ≤ 1 → x ≤ 1/3
⇒ x + 1 ≤ 0 soit x ≥ -1
les solutions de l'inéquation ⇒ x ∈ [-1 ; 1/3]
bonne nuit
