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Sagot :
Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
1) ABC est rectangle en A si BC²=AB²+AC² (réciproque du th. de Pythagore)
AB²=(xB-xA)²+(yB-yA)²+(zB-zA)²=(2-1)²+(-4+5)²+(4-3)²=3
AC²=(même formule)........................................................=14
BC²=. " " .......................................................=17
Le triangle est rectangle en A
Aire ABC=AB*AC/2=(V3)*(V14)/2=(V42)/2 u.a.
2) Le vecteur n est est perpendiculaire au plan (ABC) s'il est orthogonal à deux vecteurs sécants du plan
Les vecAB et vecAC sont sécants le vec n est perpendiculaire au plan si
les produits scalaires vecn*vecAB=0et vec n*vecAC=0
vecAB(xB-xA=1; yB-yA=1 et zB-zA=1) vec AB(1; 1; 1)
vecAC(même formule) ............................vecAC(-2; +3; -1)
vec n*vecAB=-4*1+(-1)*1+5*1=0
vec n*vecAC=même formule =0
le vec n(-4; -1; 5) est un vecteur normal pour le plan (ABC)
d'où l'équation du plan -4x-y+5z+d=0
ce plan passe par le point A(1; -5; 3) donc
-4+5+15+d=0 donc d=-16
Equation du plan (ABC) -4x-y+5z-16=0
c) Le point H est le projeté orthogonal de D sur la plan (ABC) si H appartient au plan et si (DH) est perpendiculaire au plan.
H appartient au plan si -4xH-yH+5zH-16=0
soit +8+8+0+16=0 vrai
Pour vérifier que (DH) est perpendiculaire au plan il suffit de voir si les vecteurs n et DH sont colinéaires
vec n(-4; -1; 5)
vecDH(-20;-5; 25) on note que vecDH=5 vec n
H est bien le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC)
3a) La distance du point D au plan (ABC) est DH; pour calculer DH
on reprend la formule de la question1 avec les coordonnées de vecDH
DH=V[(-20)²+(-5)²+25²]=V1050=5V42
b)Volume du tétraèdre ABCD=(1/3)aire ABC*DH
=(1/3)(V42)*5(V42)/2=5*42/6=35u.v.
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