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Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
1)
Quand x tend vers 0 avec x > 0 :
Trouver la limite de "x*ln(x)" en zéro avec x > 0 n'est pas simple du tout. Tu trouves des démonstrations sur Internet.
Sinon , on admet généralement que toute puissance de "x" impose sa limite à la fct ln(x).
Alors :
lim x*ln(x)=0
x-->0
x > 0
Donc :
lim g(x)=0-0=0
x-->0
x > 0
Une asymptote : l'axe des ordonnées.
Quand x tend vers +∞ :
g(x)=x(4-ln(x))
lim ln(x)=+∞
x-->+∞
lim (4-ln(x))=-∞
x-->+∞
lim g(x)=lim [x(4-ln(x))]=(+∞) x (-∞)=-∞
x-->+∞
2)
x*lnx est de la forme u*v avec :
u=x donc u'=1
v=ln(x) donc v'=1/x
(x*ln(x)) ' =u'v+uv'=ln(x)+1
Donc :
g '(x)=4-ln(x)-1
g '(x)=3-ln(x)
3-ln(x) > 0
ln(x) < 3
x < exp(3) ≈ 20
x------>0....................exp(3).................+∞
g '(x)--->.......+............0............-............
g(x)--->||..........C..........?.............D...........
C=flèche qui monte et D=flèche qui descend.
g(exp(3))=4*exp(3)-3exp(3)=exp(3) ≈ 20
3)
La limite en 0 avec x > 0 est zéro.
Sur ]0;exp(3)] , g(x) est strictement croissante et passe par un max pour x=exp(3).
Ensuite g(x) est strictement décroissante avec limite = -∞ pour x -->+∞.
Donc g(x) s'annule pour une certaine valeur que l'on cherche.
g(x)=x(4-ln(x))
On résout donc :
4-ln(x)=0
ln(x)=4
x=exp(4) ≈ 54.6
Tableau de signes :
x----->0.................exp(4)..................+∈
g(x)-->||.......+..........0..............-..........
4)
D'après les tableaux de variation et de signes :
Sur ]0;exp(3)] , g(x) est continue et strictement croissante passant d'une limite égale à zéro pour x=0+ à la valeur exp(3) ≈ 20 pour x=exp(3). Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires (TVI ) , il existe un unique réel α tel que g(α)=10.
Sur [exp(3);exp(4)] , g(x) est continue et strictement décroissante passant de la valeur exp(3) ≈ 20 pour x=exp(3) à la valeur zéro pour x=exp(4). Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires (TVI ) , il existe un unique réel β tel que g(β)=10.
La calculatrice donne :
α ≈ 3.72
β ≈ 43.35
Tu vérifies !!
