Bonjour,
La suite [tex](u_{n})[/tex] est arithmétique et on connaît deux termes de cette suite :
- [tex]u_{12}=52[/tex]
- [tex]u_{23}=107[/tex]
1) Comme il s'agit d'une suite arithmétique de raison [tex]r[/tex], et que l'on connaît deux termes de cette suite, on a :
[tex]u_{23}-u_{12}=(23-12)r[/tex]
[tex]107-52=11r[/tex]
[tex]55=11r[/tex]
[tex]r=\frac{55}{11}=5[/tex]
Ainsi, la raison de cette suite est [tex]r=5[/tex].
2) La formule explicite d'une suite arithmétique est :
[tex]u_{n}=u_{0}+nr[/tex]
D'où : [tex]u_{0}=u_{n}-nr[/tex]
Or, on a [tex]r=5[/tex] et [tex]u_{12}=52[/tex], donc :
[tex]u_{0}=u_{12}-12r\\u_{0}=52-12\times 5\\u_{0}=-8[/tex]
3) On en déduit la formule explicite qui est :
[tex]u_{n}=-8+5n[/tex]
Donc :
[tex]u_{55}=-8+5\times 55=267[/tex]
4) Comme [tex]u_{n}=-8+5n[/tex], on a :
[tex]u_{n+1} - u_{n}\\\\=-8+5(n+1)-(-8+5n)\\=-8+5n+5+8-5n\\=5[/tex]
Comme [tex]u_{n+1}-u_{n}\geq 0[/tex], la suite [tex](u_{n})[/tex] est croissante.
5) Comme cette suite est croissante, on a :
[tex]$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n}=+\infty[/tex]
On conjecture que la limite de la suite [tex](u_{n})[/tex] est [tex]+\infty[/tex].
En espérant t'avoir aidé.
