Réponse :
Partie 1
1) justifier que le triangle ABC est rectangle en A
AB²+AC² = 4²+3² = 25
BC² = 5² = 25
donc on a bien l'égalité BC² = AB²+AC² on en déduit donc d'après la réciproque du th.Pythagore que le triangle ABC est rectangle en A
2) (a) calculer cos (^B) et sin (^B)
cos (^B) = AB/BC = 4/5
sin (^B) = AC/BC = 3/5
(b) en déduire la relation (cos (^B))²+(sin(^B))² = 1
(cos (^B))²+(sin(^B))² = (4/5)²+(3/5)²
= (4²/5² + 3²/5²)
= (4²+3²)/5²
= 5²/5²
= 1
3) vérifier qu'on a aussi (cos (^C))²+(sin(^C))² = 1
(cos (^C))²+(sin(^C))² = (3/5)²+(4/5)²
= 3²/5² + 4²/5²
= (3²+4²)/5²
= 5²/5²
= 1
Partie 2
4) justifier que l'on a (b) en déduire la relation (cos (^B))²+(sin(^B))² = 1
(cos (^B))²+(sin(^B))² = (AB/BC)²+(AC/BC)²
= (AB²/BC² + AC²/BC²)
= (AB²+AC²)/BC²
= BC²/BC²
= 1
4) justifier que l'on a (cos (^B))²+(sin(^B))² = (AB²+AC²)/BC²
dans le triangle ABC rectangle en A
cos (^B) = AB/BC et sin (^B) = AC/BC
(cos (^B))²+(sin(^B))² = (AB/BC)²+(AC/BC)²
= (AB²/BC² + AC²/BC²)
= (AB²+AC²)/BC²
5) justifier alors qu'on a (cos (^B))²+(sin(^B))² = 1
(cos (^B))²+(sin(^B))² = (AB²+AC²)/BC² or d'après le th.Pythagore
on a BC² = AB²+AC²
donc (cos (^B))²+(sin(^B))² = (AB²+AC²)/BC² = BC²/BC² = 1
Explications étape par étape :