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Sagot :
Bonjour Ambre,
Contrat 1
1.a)
[tex]u_{2} = 12000 + 750 = 12750\\u_{3} = 12750 + 750 = 13500[/tex]
1.b) [tex](U_{n} )[/tex] est une suite arithmétique puisqu'à chaque terme, on ajoute à la valeur du terme précédent un nombre constant (ici 750, c'est la raison de la suite).
1.c) L'expression générale d'une suite arithmétique de raison r est :
• si la suite commence à [tex]n=0[/tex] , [tex]u_{n} = u_{0} + nr[/tex]
• si la suite commence à [tex]n=n_0[/tex] , [tex]u_n = u_{n0} + (n-n_0)r[/tex]
Dans notre cas, la suite commence à n=1 (deuxième situation).
Ainsi,
[tex]u_n = u_1 + (n-1)r[/tex]
1.d) On cherche [tex]u_1 + u_2 + ... + u_9[/tex]
D'après une formule du cours :
• si la suite commence à [tex]n=0[/tex], [tex]u_0 + u_1 + ... + u_n = (n+1) * \frac{u_0+u_n}{2}[/tex]
• si la suite commence à [tex]n=n_0[/tex], [tex]u_{n0} + u_1 + ... + u_n = (n-n_0+1) * \frac{u_{n0}+u_n}{2}[/tex]
Dans notre cas, la suite commence à n=1 (deuxième situation).
Ainsi,
[tex]u_1 + u_2 + ... + u_9 = u_1 * \frac{u_1+u_9}{2}\\[/tex]
Or, [tex]u_9 = u_1 + (9-1)*r = 12000 + 8*750 = 18000[/tex]
d'où :
[tex]u_1 + u_2 + ... + u_9 = 12000 * \frac{12000+18000}{2} = 135000[/tex]
Contrat 2
2.a)
Une augmentation de 5% revient à multiplier le terme par 1.05.
[tex](a + a*\frac{5}{100} = a*\frac{105}{100} = a * 1.05 )[/tex]
[tex]v_2 = 12000 * 1.05 = 12600\\v_3 = 12600*1.05 = 13230[/tex]
2.b) [tex](V_n)[/tex] est une suite géométrique puisqu'à chaque terme, on multiplie la valeur du terme précédent par un nombre constant (ici 1.05, c'est la raison de la suite)
2.c) L'expression générale d'une suite géométrique de raison q est :
• si la suite commence à [tex]n=0[/tex] , [tex]v_{n} = v_{0} * q^{n}[/tex]
• si la suite commence à [tex]n=n_0[/tex] , [tex]u_n = u_{n0} * q^{n-n_0}[/tex]
Dans notre cas, la suite commence à n=1 (deuxième situation).
Ainsi ,
[tex]v_n = v_1 * q^{n-1}[/tex]
2.d) On cherche [tex]v_1 + v_2 + ... + v_9[/tex]
D'après une formule du cours :
• si la suite commence à [tex]n=0[/tex], [tex]v_0 + v_1 + ... + v_n = v_0 * \frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/tex]
• si la suite commence à [tex]n=n_0[/tex], [tex]v_{n0} + v_1 + ... + v_n = v_{n0} * \frac{1-q^n}{1-q}[/tex]
Dans notre cas, la suite commence à n=1 (deuxième situation).
Ainsi,
[tex]v_1 + v_2 + ... + v_9 = 12000 * \frac{1-1.05^9}{1-1.05} = 132 319[/tex] (arrondi)
3) Le contrat le plus avantageux est donc le deuxième
(132 319 < 135 000)
4.a)
u = 12000
v = 12000
n = int(input("saisir une valeur de n:"))
for i in range(n-1) :
u = u + 750
v = v * 1.05
print("pour n=",n, "on a", "u=",u, "et v=",v)
Je me suis permis de modifier le nombre de tour de boucle car la suite commence à n=1 et non à n=0. En restant avec un nombre de tour de n, pour n=1 on aurait obtenu [tex]u_1 = 12750[/tex] et [tex]v_1 = 12600[/tex] .
4.b)
pour n=4, on obtient (en appliquant les formules explicites) :
[tex]u_4 = 12000 + 3*750 = 14250\\\\v_4 = 12000 * 1.05^{3} = 13891[/tex]
A noter : si on n'avait pas remplacer n par n-1 dans le range, on aurait obtenu les valeurs de [tex]u_5[/tex] et [tex]v_5[/tex].
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