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Réponse :
Explications étape par étape :
■ prenons le cas du triangle isocèle rectangle en A
de côtés 10 ; 10 ; et 10√2 cm :
son Aire vaut alors 10² / 2 = 50 cm² .
■ prenons le cas du triangle équilatéral
de côtés 10 ; 10 ; et 10 cm :
son Aire vaut alors environ 43,3 cm² .
■ prenons le cas du triangle isocèle
de côtés 10 ; 10 ; et 16 cm :
son Aire vaut alors 48 cm² .
■ la conjecture est que l' Aire est MAXI
pour le triangle isocèle rectangle ! ☺
■ calcul de la hauteur par Pythagore :
h² + (b/2)² = 10² donne h² = 100 - 0,25b²
d' où h = √(100 - 0,25b²)
■ l' Aire du triangle est donc :
b * √(100 - 0,25b²) / 2 = 0,5b√(100 - 0,25b²) .
■ étude de la fonction f(x) = 0,5x√(100 - 0,25x²) :
dérivée f ' (x) = 0,5√(100 - 0,25x²) + 0,25x(-0,5x)/√(100 - 0,25x²)
= [ 0,5(100 - 0,25x²) - 0,125x² ] / √(100 - 0,25x²)
= [ 50 - 0,125x² - 0,125x² ] / √(100 - 0,25x²)
= ( 50 - 0,25x² ) / √(100 - 0,25x²)
cette dérivée est nulle pour 50 - 0,25x² = 0
x² = 200
x = 10√2 ≈ 14,1 cm .
■ conclusion : la conjecture est enfin démontrée et vérifiée ! ☺
