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Bonjour j'aurais besoin d'aide pour cette exercice ​

Bonjour Jaurais Besoin Daide Pour Cette Exercice class=

Sagot :

Réponse :

f(x) = 4 x²/(4 + x⁴)

1) justifier que f est définie sur R

    4 + x⁴ = 2² + (x²)²  > 0 , ∀ x ∈ R  car la somme de deux carrés est toujours positive

donc   Df = R

2) f est une fonction quotient dérivable sur Df est sa dérivée f '

est :  f '(x) = (8 x(4 + x⁴) - 4 x³ * 4 x²)/(4 + x⁴)²

                = (32 x + 8 x⁵ - 16 x⁵)/(4 + x⁴)²

                = (32 x - 8 x⁵)/(4 + x⁴)²

2) démontrer que, pour tout réel x,  f '(x) = 8 x(2 - x²)(2 + x²)/(4 + x⁴)²

     f '(x) = (32 x - 8 x⁵)/(4 + x⁴)²

            = 8 x(4 - x⁴)/(4 + x⁴)²

            = 8 x(2² - (x²)²)/(4 + x⁴)²

      f '(x) = 8 x(2 - x²)(2 + x²)/(4 + x⁴)²

4) en déduire le tableau de variations de f sur R

f '(x) = 8 x(2 - x²)(2 + x²)/(4 + x⁴)²    or  2 + x² > 0  et  (4 + x⁴)² > 0

donc le signe de f '(x)  dépend du signe de 8 x(2 - x²)

        x      - ∞         - √2               0                  √2                     + ∞

      8 x             -                   -       0           +                       +

   2 - x²             -        0        +                     +       0             -  

    f '(x)              +        0        -        0            +       0            -

variation  0→→→→→→→ 1 →→→→→→→→0→→→→→→→→→ 1 →→→→→→→→→→ 0

de f(x)      croissante   décroissante    croissante     décroissante

Explications étape par étape :

Yondaime

Réponse :

1) mettre un nb à la puissance 4 revient à faire le carré de son carré, or un carré est tjs positif et 4 tjs positif donc le dénominateur est toujours positif: il n'y a pas de valeur interdite donc f est définie sur R.

2)f est de la forme u/v avec u = 4x² et v = 4 + [tex]x^{4}[/tex] donc sa dérivée est de la forme (u'v - uv')/v²

u' = 8x et v' = 4[tex]x^{3}[/tex], d'où:[tex]f'(x)=\frac{8x(4+x^{4})-4x^{2} *4x^{3} }{(4+x^{4})^{2} } =\frac{8x(4+x^{4})-16x^{5} }{(4+x^{4})^{2} }[/tex]

3) [tex]f'(x)=\frac{8x(4+x^{4})-16x^{5} }{(4+x^{4})^{2} } =\frac{8x(4+x^{4}-2x^{4}) }{(4+x^{4})^{2}} =\frac{8x(4-x^{4})}{(4+x^{4})^{2}} =\frac{8x(2-x^{2} )(2+x^{2} )}{(4+x^{4})^{2}}[/tex]

4) f' s'annule lorsque:

8x = 0 ou 2-x² = 0 ou 2+x² = 0

⇔x=0 ou x = [tex]\sqrt{2}[/tex] ou x = [tex]-\sqrt{2}[/tex]

Donc le tableau de variations de f est:

(voir pièce jointe)

calculs des images par f:

f([tex]-\sqrt{2}[/tex]) = [tex]\frac{4(\sqrt{2})^{2} }{4+(\sqrt{2} )^{4} } =1[/tex]  = f([tex]\sqrt{2}[/tex])

f(0) = [tex]\frac{4*0^{2} }{4+x^{4} } =0[/tex]

5) Voir deuxième pj (je ne sais pas s'il fallait faire les limites, mais [tex]\lim_{x \to +\infty} f(x)=0[/tex] et [tex]\lim_{x \to -\infty} f(x)=0[/tex])

Bonne soirée !

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