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Bonjour,' jai besoin d'aide pour une question en maths

On veut fabriquer la boîte sans couvercle ci-contre.
Il s’agit d’un parallélépipède rectangle dont la base est un carré de
côté x mètres (x > 0). On va s’intéresser au coût de fabrication de
la boîte selon la valeur de x.
Contrainte : on veut que le volume de la boîte soit 10 m³.
1/ Calculer l’expression de la hauteur h en fonction de x pour que
la contrainte soit respectée.

La base est fabriquée à l’aide d’un matériau qui coûte 5 € par mètre carré, tandis que les faces latérales sont construites à l’aide d’un matériau qui coûte 2 € par mètre carré.
Soit C la fonction qui, à la longueur x, associe le coût de fabrication de la boîte.

2/ Démontrer que, pour tout x > 0, C(x) = [tex]\frac{5x^{3}+80}{x}[/tex].

3/ Démontrer que, pour tout x > 0, C est dérivable et C '( x)=[tex]\frac{10(x^{3}-8)}{x^{2}}[/tex]

4/ On va étudier le signe de [tex]x^{3}-8[/tex] sur ]0 ;+∞[ .
En vous aidant de la représentation de la fonction cube ci-contre,
recopier et compléter les équivalences suivantes :
[tex]x^{3}-8\ \textgreater \ 0[/tex]⇔[tex]x^{3} \ \textgreater \ [/tex].......⇔ [tex]x[/tex]........

5/ Établir le tableau de signes de C '( x) sur ]0 ;+∞[ .

6/ En déduire le tableau de variations de C sur ]0 ;+∞[ .

7/ Quelles sont les dimensions de la boîte pour lesquelles le coût de
fabrication est minimal ?

Bonjour Jai Besoin Daide Pour Une Question En Maths On Veut Fabriquer La Boîte Sans Couvercle Cicontre Il Sagit Dun Parallélépipède Rectangle Dont La Base Est U class=

Sagot :

Réponse :

1) calculer l'expression de la hauteur h en fonction de x  pour que la contrainte soit respectée

     volume de la boite  est :  v = x * x * h = 10 m²

⇔  h = 10/x²    avec  x > 0

2) démontrer que, pour tout x > 0 ,   C(x) = (5 x³ + 80)/x

C(x) = 5 x² + 2 (4(x * h))

       = 5 x² + 2(4(x * 10/x²)

       = 5 x² + 80/x

       = (5 x³ + 80)/x

3) démontrer que, pour tout x > 0,  C'  est dérivable

et  C'(x) = 10(x³ - 8)/x²

C est une fonction quotient  dérivable pour tout x > 0 ²et sa dérivée

C'(x) = (15 x² * x - (5 x³ + 80))/x²

       = (10 x³ - 80)/x²

    C'(x) = 10(x³ - 80)/x²

4) x³ - 8 > 0  ⇔ x³ > 8  ⇔ x > 2       x ∈ ]0 ; + ∞[

5) tableau de signe de C'(x)  sur  ]0 ; + ∞[

        x       0               2               + ∞  

      C'(x)    ||       -        0        +

6) tableau de variations de C   sur ]0 ; + ∞[

        x     0                          2                      + ∞

     C(x)  + ∞→→→→→→→→→→ 60 →→→→→→→→→ + ∞

                    décroissante         croissante

7) quelles sont les dimensions de la boite pour lesquelles le coût de fabrication de la boite est minimal ?

x = 2 m   et  h = 10/4 = 5/2 = 2.5 m  

Explications étape par étape :

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