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Bonsoir, j’ai cet exercice à faire pour mercredi et j’avoue que j’ai du mal, si quelqu’un peut pourrait m’aider svp ça serait super sympa.

Partie A
Soit g la fonction définie et dérivable sur R telle que,
pour tout réel x:
8(x) = -2r3 + x2 -1.
1. a. Étudier le sens de variation de la fonction g.
b. Déterminer les limites de la fonction g en -co et en +.
2. Démontrer que l'équation g(x)= 0 admet une
unique solution dans R, notée a, et que a appartient
à (-1;0).
3. En déduire le signe de g sur R.


Partie B
Soit f la fonction définie et dérivable sur R telle que,
pour tout réel x:
f(x) = (1+x+x? + + x) e 2x+1
On note f' la fonction dérivée de la fonction f sur R.
1. Démontrer que lim f(x) = -0.
2. a. Démontrer que, pour tout x > 1:
1 b. En déduire que, pour tout x > 1:
o< f (x) < 4xe-2x+1
c. On admet que, pour tout entier naturel n:
lim r"e * = 0.
1-0
+00
Vérifier que, pour tout réel x:
4x'e-23+1 = (2x)e 2;
puis montrer que:
lim 4re-2x+1 = 0.
Y+00
d. On note C, la courbe représentative de f dans un
repère orthonormé (0 : 1, j). En utilisant la question
précédente, déterminer la limite de fen + et en don-
ner une interprétation graphique.
3. Démontrer que, pour tout x de R:
f'(x) = (-2x + x2 - 1)e-2x+!
4. À l'aide des résultats de la partie A, déterminer le
sens de variation et les limites de f sur R.

Sagot :

Réponse :

partie A

g(x) = - 2 x³ + x² - 1

1.a.  étudier le sens de variation de la fonction g

g est une fonction polynôme dérivable sur R  et sa dérivée g ' est

g '(x) = - 6 x² + 2 x

le signe de la fonction g '(x) est

x                  - ∞                     0                      1/3                          + ∞

g '(x)                        -             0          +           0              -

variation      +∞→→→→→→→→  -1 →→→→→→→→ - 26/27 →→→→→→→→→ - ∞  

de g(x)              décroissante   croissante              décroissante

b) déterminer les limites de la fonction g en - ∞ et en + ∞

lim g(x) = lim (- 2 x³ + x² - 1)  = lim - 2 x³(1 - 1/x + 1/x³)

x→ - ∞      x→ - ∞                        x → - ∞

lim 1/x = 0  et  lim 1/x³ = 0    par addition  lim (1 - 1/x + 1/x³) = 1

x→ - ∞              x → - ∞                                  x → - ∞

lim - 2 x³ = + ∞     donc par produit   lim g(x) = + ∞

x → - ∞                                                 x → - ∞  

donc par analogie  nous déduisons que la lim g(x) = - ∞

                                                                        x → + ∞  

car lim - 2 x³ = - ∞  et  lim (1 - 1/x + 1/x³) = 1

     x → + ∞                    x → + ∞

Donc par produit   lim g(x) = - ∞

                               x → + ∞

2) démontrer que l'équation g(x) = 0 admet une unique solution dans R

notée a, et  a ∈ [- 1 ; 0]

- la fonction g est une fonction continue sur R  car elle est dérivable sur R

- g est décroissante  sur l'intervalle  ]- ∞ ; 0]

- lim g(x)  en - ∞  = + ∞  et  lim  en 0  = - 1

sur l'intervalle [- 1 ; 0]   on a  f(- 1) = 2  et f(0) = - 1

donc la fonction g(x) = 0 admet une unique solution a comprise entre - 1 et 0

3) en déduire le signe de g sur R

            x    - ∞                 a                 + ∞

          g(x)             +         0         -

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