sky14
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Bonsoir j’aurai besoin d’aide sur ce dm s’il vous plaît
On considère le triangle ABC tel que
A(4 ; -3), B(5; 3) et C(-2; 3).

1. Déterminer une équation de la hauteur issue de A
dans le triangle ABC.
2. Déterminer une équation de la hauteur issue de B
dans le triangle ABC.
3. Déterminer les coordonnées du point d'intersection H
des deux hauteurs.
4. Calculer le produit scalaire AB.CH . Quel résultat
connu retrouve-t-on ?
Merci

Sagot :

Réponse :

bonjour, n'oublie pas de placer ces points sur un repère orthonormé (unité 1cm  ou 1 carreau).Ceci pour vérifier les calculs.

Explications étape par étape :

1) soit M le projeté de A sur (BC); on note que les points B et C ont la même ordonnée comme (AM) est perpendiculaire à (BC), les points A et M ont la même abscisse x=4

l'équation de (AM)  x=4

2)Soit N le pied de la hauteur issue de B;  (BN) est perpendiculaire à (AC) ; le produit des coef. directeurs de ces deux droites =-1

donc coef.dir.(BN)=-1/coef.dir (AC) = -(xC-xA)/(yC-yA)=-(-6)/(6)=1

l'équation de (BN) est y=x+b comme cette droite passe par B,

yB=xB+b   soit 3=5+b    donc b=-2

Equation de (BN)  y=x-2

3) Les coordonnées de H intersection de (AM) et (BN) sont

xH=4 et yH=4-2=2   H(4; 2)

4)Déterminons les coordonnées des vecAB et vecCH

vecAB:   xB-xA=5-4=1  et yB-yA=3+3=6      vecAB(1; 6)

vecCH:    xH-xC=4+2=6  et yH-yC=2-3=-1   vecCH(6; -1)

produit scalaire vecAB*vecCH=1*6+6*(-1)=0

Ces deux vecteurs sont donc perpendiculaires.

On en déduit que (CH) est la hauteur issue de C dans le triangle ABC et on retrouve une propriété vue au collège:  les hauteurs d'un triangle sont concourantes en un point H appelé orthocentre du triangle.

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