Soit 3 nombres consécutifs
a ; a+1 ; a+2
Si on a le produit (a)(a+1)(a+2) , alors
- soit a est divisible par 3, donc le produit est divisible par 3
- soit a a pour reste 1 par la division euclidienne par 3, et s'écrit donc a=3q+1, donc a+2 = 3q+1+2 = 3(q+1) est divisible par 3, donc le produit est divisible par 3
- soit a a pour reste 2 par la division euclidienne par 2, et s'écrit donc a=3q+2, donc a+1 = 3q+2+1 = 3(q+1) est divisible par 3, donc le produit est divisible par 3
Ainsi, quelque soit a, (a)(a+1)(a+2) est divisible par 3
on procède de même pour la divisibilité par 2
Donc (a)(a+1)(a+2) est divisible par 2 et par 3, donc par leur ppcm. Or ppcm(2,3)=6, ce qui conclut la preuve
