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Réponse :
a/
[tex]\lim_{x\mapsto1}\frac{x}{lnx}= +\infty[/tex] car [tex]\lim_{x\mapsto1}lnx=0[/tex]
[tex]\lim_{x\mapsto+\infty{\frac{x}{lnx}=+\infty[/tex] selon la règle des croissances comparées
b/ dérivons f(x) :
Utiliser la formule de dérivée composée :
[tex]\frac{u}{v}=\frac{v*u' - v'*u}{v^2}[/tex]
u = x u'=1
v = ln(x) v'=1/x
On a f'(x) = [tex]f'(x)=\frac{lnx -1}{(lnx)^2}[/tex]
Le dénominateur est positif car un carré est toujours positif
il reste à résoudre lnx-1>0
Donc :
lnx -1 > 0
lnx > 1
x > e
f est donc decroissante sur ]1 ; e] et croissante sur [e ; +infini[
c/
si x>e alors [tex]f(x)>\frac{e}{ln(e)}=\frac{e}{1} =e[/tex]
2a/ Preuve par récurrence :
Soit P(n) le predicat "Un>e"
Initialisation : n=0
u0=5>e donc P(0) est vrai
Hérédité : On suppose que P(n) est vrai pour un n fixé
un > e
[tex]\frac{u_n}{ln(u_n)} > \frac{e}{ln(e)} =e[/tex]
[tex]\text{on reconnait la suite Un+1 donc}[/tex] [tex]u_{n+1}>e[/tex]
P(n+1) est vrai
Conclusion : P(n) est vrai pour tout n>1
2b/
[tex]u_{n+1}-u_n = \frac{u_n}{ln(u_n)} -u_n[/tex]
[tex]=\frac{u_n - u_n*ln(u_n)}{ln(u_n)}[/tex]
Le dénominateur est positif car un>e donc ln(un)>1
Le numérateur : Selon 2a Un>e donc ln(un) est supérieur à 1 ce qui fait que un-un*ln(un) est négatif.
Donc Un est décroissante
2c/
Selon le théorème de la convergence monotone, une suite minorée et décroissante converge vers un point L réel.
Donc (un) est convergente.
Son point fixe verifie ainsi :
l = f(l) = lim(un)
Donc :
[tex]l = \frac{l}{ln(l)}[/tex]
[tex]l*ln(l)=l[/tex]
[tex]ln(l)=1[/tex]
[tex]l=e^1=e[/tex]
[tex]\lim_{n\mapsto\infty} u_n = \lim_{n\mapsto\infty} u_{n+1}= l = e[/tex] Selon le théorème du point fixe
