Réponse :
Bonjour, le travail est mâché il suffit de suivre les consignes.
Explications étape par étape :
On a la parabole (P) d'équation f(x)=1-x².
Sur repère orthonormé (O; i; j) unité de longueur 2cm (pour avoir une représentation correcte) trace (P) sur l'intervalle [0; 1].
la dérivée de f(x) est f'(x)=-2x
1) Cas particulier l'équation de la tangente (T) au point d'abscisse x=1/2 est donnée par la formule y=f'(1/2)(x-1/2)+f(1/2)=-1(x-1/2)+3/4=-x+5/4
y=-x+5/4 trace cette tangente et place les points A et B.
2) Cas général soit le point M appartenant à (P) de coordonnée(a; f(a)); j'ai remplacé x0 par "a" et y0 par f(a) ceci pour faciliter l'écriture.
l'équation de (T) devient y=f'(a)(x-a)+f(a)
soit y=-2a(x-a)+(1-a²)=-2ax+a²+1 (réponse donnée dans l'énoncé)
3) Le triangle AOB est rectangle en O, son aire est A=OA*OB/2
OA est la solution de y=0 soit OA=(a²+1)/2a
OB est l'ordonnée à l'origine de (T) soit OB=a²+1
Aire AOB=(a²+1)²/4a (réponse donnée dans l'énoncé).
4) Cette aire est une fonction de l'abscisse "a" du point M sur l'intervalle
]0; 1]
Pour la suite on remplace "a" par "x" et l'aire par A(x) (j'ai déjà utilisé f(x)=1-x²)
Etude de A(x)=(x²+1)²/4x sur ]0;1]
limites aux bornes
si x tend vers0 A(x)tend vers +oo
si x=1 A(x)=2²/4=1
Dérivée A'(x)=[2(2x)(x²+1)4x-4(x²+1)²]/16x²=[4(x²+1)(4x²-(x²+1)]/16x²
A'(x)=[(x²+1)(3x²-1)]/4x² réponse donnée dans l'énoncé.
On note que cette dérivée est du signe de 3x²-1 les autres facteurs étant>0
A'(x)=0 pour x=1/V3 sur ]0;1]
Tableau de signes de A'(x) et de variations de A(x)
x 0 1/V3 1
A'(x) - 0 +
A(x) +oo décroît A(1/V3) croît 1
A(1/V3)= ................je te laisse ce calcul et donne la valeur exacte en u.a.
