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Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour mon DM de maths.


On considère la fonction définie par f(x) = (2x²+5x-3)/(x+4)


1. Déterminer la (les) valeur (s) interdite (s) et en déduire sur quel ensemble de définition peut-on étudier la fonction f.


2. Déterminer les points d’intersection de la courbe avec les axes.


3. Calculer la fonction dérivée, étudier son signe et dresser le tableau de variation de la fonction f.


4. a) En utilisant le mode graphique de ta calculatrice, fait apparaître la courbe sur l’intervalle [−50 ; 50] ainsi que la droite d’équation y = −2x + 13.


b) Trace sur ta copie l’allure de la courbe, la droite en faisant apparaître les valeurs de la question 2. Tu indiqueras les valeurs de ta fenêtre utilisée de ta calculatrice.


c) Quelle conjecture peux-tu faire sur la position de la courbe représentative par rapport à la droite ?


d) Démontre le par le calcul.


Merci de votre aide.

Sagot :

Bernie76

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

1)

Il faut :

x+4 ≠ 0 soit x ≠ -4

Df=IR-{-4}

2)

Avec axe des x :

f(x)=0 donne :

2x²+5x-3=0

Δ=b²-4ac=5²-4(2)(-3)=49

√49=7

x1=(-5-7)/4=-3

x2=(-5+7)/4=1/2

Deux points : (-3;0) et (1/2;0)

Avec axe des y :

x=0 donne y=-3/4

Un point : (0;-3/4)

3)

f est de la forme u/v avec :

u=2x²+5x-3 donc u'=4x+5

v=x+4 donc v'=1

f '(x)=(u'v-uv')/v²

f '(x)=[(4x+5)(x+4)-(2x²+5x-3)] /(x+4)²

Je te laisse développer et trouver à la fin :

f '(x)=(2x²+16x+23) / (x+4)²

f '(x) est du signe de (2x²+16x+23) qui est < 0 entre les racines.

Δ=16²-4(2)(23)=72

√72=√(36 x 2)=6√2

x1=(-16-6√2)/4

x1=(-8-3√2)/2 (≈ -6.1)

x2=(-8+3√2)/2  ( ≈ -1.9 )

Variation ( tu mets les valeurs de x1 et x2 dans le tabeau) :

x------>-∞................x1..................-4...............x2.................+∞

f '(x)-->.........+..........0..........-........||.........-......0..........+...........

f(x)---->........C.........≈-19.5.....D....||......D......≈-2.5.....C........

C=flèche qui monte et D=flèche qui descend.

4)

a)

Voir graph joint.

b)

Difficile de faire apparaître les points de la 2) !!

Fenêtre utilisée sur ma calculatrice :

Xmin=-50

Xmax=50

Xgrad=10

Ymin=-50

Ymax=50

Ygrad=10

c)

Cf au-dessous de la droite  y=-2x+13 pour x ∈]-∞;-4[ U ]-3.7;3.7[

Et au-dessus pour x ∈ ]-4;-3.7[ U ]3.7;+∞[

d)

On résout :

(2x²+5x-3)/(x+4) > -2x+13

(2x²+5x-3)/(x+4) +2x-13 > 0

[(2x²+5x-3) +(2x-13)(x+4)] / (x+4)  > 0

Tu développes et à la fin :

(4x²-55) / (x+4) > 0

On appelle : E(x)=(4x²-55)/(x+4)

4x²-55 est < 0 entre ses racines.

x²=55/4

x1=-√55/2 et x2=√55/2 ==>seul "55" est sous la racine.

Notons que : -√55/2 ≈ -3.7 et √55/2 ≈ 3.7

x----------->-∞..............-4............-√55/2.................√55/2..............+∞

4x²-55--->.........+...............+...........0............-.............0............+.........

x+4-------->..........-........0.......+......................+............................+..........

E(x)------->..........-.........||........+.........0..........-..............0...........+.............

Donc Cf au-dessous de la droite pour x ∈]-∞;-4[ U ]-√55/2;√55/2[

et au-dessus pour x ∈ ]-4;-√55/2[ U ]√55/2;+∞[

Pour mon graph fait avec le logiciel gratuit Sine Qua Non, j'ai choisi :

axe des x : 1cm = 1 unité

axe des y : 1 cm= 5 unités

Sinon on ne voit rien.

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