Réponse :
Explications étape par étape :
1er Exercice :
[tex]f(x)=-x^{2} -3x+10\\[/tex]
1)
Montrer que pour tout réel x
[tex]f(x)=-(x+\frac{3}{2} )^{2} +\frac{49}{4} \\[/tex]
de la forme
[tex]f(x)=ax^{2} +bx+c[/tex] => a, b , c sont des réels (Positifs ou négatifs) avec a qui ne pas être nul car dans ce ne serait plus une fonction du second degré
Toute fonction polynôme du second degré [tex]f(x)= ax^{2} +bx+c[/tex] peut s'écrire sous une forme dite "Canonique" => [tex]f(x)=a*(x-\alpha )^{2} +\beta[/tex]
avec [tex]\alpha =-\frac{b}{2a} \\\beta =-\frac{b^{2}-4ac }{4a} \\[/tex]
a = -1 b = -3
[tex]\alpha =-\frac{-3}{2*-1} =-\frac{3}{2} \\\beta =-\frac{(-3)^{2}-(4*-1*10) }{4*-1} =-(\frac{9+40}{-4}) =\frac{49}{4}[/tex]
donc =>
[tex]f(x)=a(x-\alpha )^{2} +\beta \\f(x)= -1(x-(-\frac{3}{2})) ^{2} -\frac{49}{4} \\f(x)=-(x+\frac{3}{2}) ^{2} +\frac{49}{4}[/tex]
2)
[tex]f(x)=-(x+\frac{3}{2}) ^{2} +\frac{49}{4} \leq \frac{49}{4} \\-(x+\frac{3}{2}) ^{2}\leq 0[/tex]
un carré est tjrs positif => [tex]-(x+\frac{3}{2}) ^{2}[/tex] sera quand à lui tjrs négatif ou nul
3) on connait déjà l'abscisse (Sommet) de ce point c'est [tex]\alpha=-\frac{3}{2}[/tex]
x(sommet) =-3/2
[tex]f(-\frac{3}{2} )=-(-\frac{3}{2} +\frac{3}{2}) ^{2} +\frac{49}{4} \\f(-\frac{3}{2} )=\frac{49}{4}[/tex]
Coordonnées du Sommet de la parabole est (-3/2; 49/4)
2ème exercice il suffit d'interpréter le tableau de variation
dire : sur tel intervalle la fonction est croissante ou décroissante
