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bonjour
Soit n > 0 un nombre entier. On pose Z = (3n + 1)² + 16n² − 26n + 3.
1. Calculer Z pour n = 1 et n = 2. Que remarque-t-on ?
• n = 1 Z = (3x1 + 1)² + 16x1²- 26x1 + 3
= 4² + 16 - 26 + 3
= 16 + 16 + 3 - 26
= 9
• n = 2 Z = (3 x 2 + 1)² + 16 x 2² - 26 x 2 +3
= 7² + 16 x 4 - 52 + 3
= 49 + 64 - 52 + 3
= 64
on remarque que ces nombres sont des carrés
2. Développer puis réduire Z.
Z = (3n + 1)² + 16n² − 26n + 3.
= (3n)² + 2 x 3n x 1 + 1² + 16n² - 26n + 3
= 9n² + 6n + 1 + 16n² - 26n + 3
= 25 n² - 20n + 4
3. Montrer que Z est le carré d’un nombre entier.
25n² - 20n + 4 = (5n)² - 2 x 5n x 2 + 2² = (5n - 2)²
Z = (5n - 2)²
(n est un entier, 5n - 2 est un entier.)
4. En déduire que √Z + 2 est un multiple de 5.
√Z = √[(5n - 2)²] = |5n - 2|
par hypothèse n est un entier > 0 : n ≥ 1
d'où 5n ≥ 5
5n - 2 ≥ 5 - 2
5n - 2 ≥ 3
on en déduit que 5n - 2 > 0 et |5n - 2| = 5n - 2
√Z + 2 = 5n - 2 + 2 = 5n
5n est multiple de 5
5. Pour quelle valeur de n a-t-on Z = 9604 ?
(5n - 2)² = 9604
(5n - 2)² = 98²
(5n - 2)² - 98² = 0 différence de 2 carrés, on factorise
(5n - 2 - 98)(5n - 2 + 98) = 0
(5n - 100)(5n + 96) = 0 équation produit nul
<=>
(5n - 100) = 0 ou (5n + 96) = 0
n = 100/5 ou n = -96/5
n = 20 la solution négative est à éliminer
réponse : 20
