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Bonsoir,
Soit [tex]f[/tex] une fonction définie par [tex]f(x)=ax^{2} +bx+c[/tex]
1) La fonction dérivée de [tex]f[/tex] est donc :
[tex]f'(x)=a\times2x+b\times1+0\\f'(x)=2xa+b[/tex]
2) Si la courbe représentative de la fonction [tex]f[/tex] coupe l'axe des ordonnées en 1, cela signifie que [tex]f(0)=1[/tex], soit :
[tex]f(0)=a\times0^{2}+b\times0+c=c=1[/tex]
On a alors : [tex]f(x)=ax^{2} +bx+1[/tex]
Si [tex]C_{f}[/tex] passe par le point [tex]A(1;2)[/tex] et admet en ce point une tangente de coefficient directeur 4, alors :
[tex]f'(1)=2\times1\times a+b=4\\f'(1)=2a+b=4[/tex]
De plus, on a :
[tex]f(1)=a\times1^{2}+b\times1+c=2\\f(1)=a+b+1=2[/tex]
On a alors un système à résoudre :
[tex]\left \{ {{2a+b=4} \atop {a+b+1=2}} \right.[/tex]
⇔ [tex]\left \{ {{b=4-2a} \atop {a+(4-2a)+1=2}} \right.[/tex]
⇔ [tex]\left \{ {{b=4-2a} \atop {-a+5=2}} \right.[/tex]
⇔ [tex]\left \{ {{b=4-2a} \atop {-a=-3}} \right.[/tex]
⇔ [tex]\left \{ {{b=4-2a} \atop {a=3}} \right.[/tex]
Comme [tex]a=3[/tex], [tex]b=4-2\times3=4-6=-2[/tex]
D'où [tex]f(x)=3x^{2} -2x+1[/tex]
En espérant t'avoir aidé.
Bonjour, je vais essayé de t'aider. N'hésite pas si tu as des questions !
On note f(x) = ax^2 + bx + c
1 ) C'est une somme donc pour dériver, on dérive chaque terme.
(ax^2)' = 2ax
(bx)' = b
(c)' = 0
donc f'(x) = 2ax + b
2) Traduisons chacune des propriétés mathématiquement :
* C coupe l'axe des ordonnées en 1 -> l'axe des ordonnées c'est x=0 donc on a f(0) = 1
*C passe par le point A(1;2) -> f(1) = 2
*au point A, la tangente a pour coef directeur 4 -> le coefficient directeur de la tangente au point A correspond à la valeur de la dérivée à l'abscisse de A. -> f'(1) = 4
Maintenant que nous avons traduis l'énoncé, il faut déterminer les valeurs de a et b et c qui répondent à ce problème.
D'après la première propriété : f(0) = a*0^2 + b*0 + c = 1 donc f(0) = c = 1
donc on a trouvé c = 1
D'après la deuxième propriété, f(1) = a*1^2 + b*1 + 1 = 2
donc f(1) = a + b + 1 = 2
donc b = -a -1 + 2 = -a+1
D'après la troisième propriété, f'(1) = 2a*1 + b = 2a+b = 4
on substitue l'expression de b trouvée précédemment :
2a + (-a + 1) = 4
donc 2a-a+1 = 4
-> a + 1 = 4
donc a = 4-1 = 3
on vient de trouver a, retournons sur l'expression de b en fonction de a et remplaçons a par 5 :
b = -a + 1 = -3 +1 = -2
On conclut : a = 3; b = -2 et c = 1
donc la fonction f est définie telle que :
f(x) = 3x^2 -2x + 1
(ici j'ai séparé les étapes pour mieux expliquer, mais tu peux aussi mettre en place un système ça revient à faire la même chose)
Je t'ai joins une capture de la courbe sur géogébra et c'est bien cohérent avec les propriétés : la courbe passe par A (1;2), coupe l'axe des ordonnées en 1 (point B) et au point A la tangent a un coefficient directeur de 4 (y = 4x-2)
Bonne journée !
