Bonsoir,
Ton exercice traite sur un chapitre clé de première : les fonctions trinômes ou, autrement dit, polynômes du second degré. On sait donc à quoi s'attendre.
1). Pour être honnête, ayant lu les différentes questions avant de debuter, je ne vois pas exactement la différence entre les 2 premières questions, mais je vais essayer d'y mettre le maximum d'explications pour que tu comprennes, car c'est l'essentiel ici ! Commençons donc par développer l'expression, nous obtiendrons ainsi cette forme :
f(x) = ax² + bx + c
Ainsi,
f(x) = 3(x+3)(x- 5)
f(x) = 3(x² - 5x + 3x - 15)
f(x) = 3(x² - 2x - 15)
f(x) = 3x² - 6x - 45
Ici, a = 3 ; b = -6 ; c = -45
On a affaire à une fonction trinome, bien évidemment ! Graphiquement, on la représente par une parabole.
Grâce à cette fonction, on peut trouver de nombreuses caractéristiques de la courbe. Pour ce qui concerne son allure, on y répondra dans la question 2. On pourra aussi calculer le sommet de la parabole dans la question 4. Et, le c, nous informe que f(0) = -45.
2). L'allure de la courbe est donnée par a. Ici, a est positif, donc la fonction est d'abord décroissante puis croissante.
3). Pour trouver f(x) = 0, cela revient à vouloir chercher les racines de la fonction. Mais il faut d'abord savoir si elle en a. Pour cela, calculons le discriminant (qui s'écrit par un triangle)
Δ = b² - 4ac
Δ = (-6)² - 4*3*-45
Δ = 36 + 540
Δ = 576
Δ > 0 donc f admet 2 racines réelles.
(Si Δ < 0 alors f n'admet aucune racine réelle. Et si Δ=0 alors f admet une racine double)
On peut ainsi trouver les 2 racines, puis résoudre f(x) = 0.
Calcul de la 1re racine (=1re solution) :
x = (-b - √Δ) / 2a
x = (6 - √576) / 2*3
x = (6 - 24) / 6
x = -18 / 6
x = -3
Calcul de la 2nde racine (=2nde solution) :
x = (-b + √Δ) / 2a
x = (6 + √576) / 2*3
x = (6 + 24) / 6
x = 30 / 6
x = 5
Ainsi, pour f(x) = 0, les solutions sont -3 et 5. C'est en -3 et en 5 que la courbe traversera l'axe des abscisses.
En pj, je t'ai fait un schéma grotesque de l'allure de la courbe, pour que tu comprennes mieux, où passe la courbe, les points importants que l'on a pu calculer/trouver durant l'exercice.
4). Les coordonnées du sommet sont respectivement alpha et bêta :
S ( α ; β )
Nous allons donc les calculer.
α = -b / 2a
α = 6 / 2*3
α = 6 / 6
α = 1
β = f(α) = 3 α ² - 6 α - 45
β = 3*1² - 6*1 - 45
β = 3 - 6 - 45
β = -48
Ainsi, S ( 1 ; -48 ).
Petit bonus : grâce à ces données, on pourrait écrire la forme canonique de la fonction !
la forme canonique étant :
f(x) = a(x - α)² + β
f(x) = 3(x - 1)² - 448
5). Le tableau de signes est en pj.
6). Qu'est ce que l'on peut en déduire ? Eh bien, c'est une parabole avec ces caractéristiques que l'on a étudiées. Quoi dire de plus ? Tout est résumé dans le tableau.
J'espère que cela t'aura aidé. N'hésite pas si tu as des questions.
Bonne soirée !
