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Bonjour, je vous poste mon exercice :

soit f la fonction définie sur R par f(x)=|x-3|.

1) Soit h un réel non nul, compris entre -1 et 1. exprimer f(-7+h), puis le taux d'accroissement de f entre -7 et -7+h en fonction de h.

2) Montrer que f n est pas dérivable en 3.

Sagot :

Felony

1) f(-7+h) = |-7+h-3| = |h-10|

f(-7) = |-7-3| = |-10| = 10

on calcule le taux d'accroissement:

[tex]\frac{f(-7+h)-f(-7)}{-7+h-(-7)} =\frac{|h-10|-10}{h}[/tex]

2) f(3+h) = |3+h-3| = |h|

f(3) = |3-3| = 0

taux d'accroissement en 3:

[tex]\frac{f(3+h)-f(3)}{3+h-3} =\frac{|h|}{h}[/tex]

on cherche la limite de ce quotient quand h tend vers 0 pour trouver le nombre dérivé mais à cause de la valeur absolue au numérateur:

  • quand h tend vers 0 par valeur négative, le numérateur est positif et le dénominateur négatif donc le quotient vaut -1
  • quand h tend vers 0 par valeur positive, le numérateur est positif et le dénominateur aussi donc le quotient vaut +1

les nombres dérivés à droites et à gauche de 3 n'étant pas les même la fonction n'est pas dérivable en 3.

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