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Bonjour, je suis en 2nd et j’ai un DM de maths à rendre, et je n’arrive pas à trouver de solution.
Serait -il possible de m’aider ?

Voici le problème :

ABCD est un rectangle de centre 0 tel que :
AB= 8 cm et BC = 4 cm.
M est un point du segment [AB], on note : AM= a.
La droite (OM) coupe (CD) en N, et la parallèle à (BD)
passant par N coupe (BC) en P.

Le but du problème est de trouver pour quelle(s) valeur(s) de x, l'aire du triangle MNP est supérieure ou égale à 6.

Après avoir justifié que l'aire du triangle MNP est donnée par :
A(x) = 8 - 1/2 (x - 4)²

vous proposerez une méthode de résolution par le calcul et une méthode de
résolution par le graphique.

Merci d’avance !

Bonjour Je Suis En 2nd Et Jai Un DM De Maths À Rendre Et Je Narrive Pas À Trouver De Solution Serait Il Possible De Maider Voici Le Problème ABCD Est Un Rectang class=

Sagot :

Réponse :

justifier que l'aire du triangle MNP est donnée par :

A(x) = 8 - 1/2(x - 4)²

(NP) // (BD) ⇒ th.Thalès on a, CN/CD = CP/CB

⇔ x/8 = CP/4  ⇔ CP = 4 x/8  ⇔ CP = x/2

l'aire du trapèze AMND est : A1 = (x + (8 - x))/2)* 4 = 16 cm²

l'aire du triangle CNP est : A2 = 1/2((1/2) x * x) = x²/4

l'aire du triangle BNP est : A3 = 1/2((4 - x/2)*(8 - x)

                                                 = 1/2(32 - 8 x  + x²/2)

                                                 = 16 - 4 x + x²/4

l'aire du triangle MNP est :

A(x) = 32 - (16 + x²/4 + 16 - 4 x + x²/4)

      = 32 - (32 - 4 x + x²/2)

A(x) = 4 x - x²/2

      = - x²/2 + 4 x

      = - 1/2(x² - 8 x)

      = - 1/2(x² - 8 x + 16 - 16)

      = - 1/2((x - 4)² - 16)

A(x) = 8 - 1/2(x - 4)²

A(x) ≥ 6  ⇔ 8 - 1/2(x - 4)² ≥ 6  ⇔ 2 - 1/2(x - 4)² ≥ 0

⇔ 2 ≥ 1/2(x - 4)²  ⇔ (x - 4)² ≤ 1  ⇔ (x - 4)² - 1 ≤ 0

⇔ (x - 4 + 1)(x - 4 - 1) ≤ 0   ⇔ (x - 3)(x - 5) ≤ 0

   ⇔ x ∈ [3 ; 5]

la résolution graphique : consiste à tracer la courbe de A(x)

et la la droite y = 6

La courbe de A a pour sommet  S(4 ; 8)  et coupe l'axe des abscisses en résolvant l'équation

 8 - 1/2(x - 4)² = 0  ⇔  (x - 4)² - 4 = 0 ⇔ (x - 4 + 2)(x - 4 - 2) = 0

⇔ (x - 2)(x - 6) = 0  

donc la courbe de A coupe l'axe des abscisses en x = 2 et x = 6

tu peux tracer aisément la courbe de A et la droite y = 6

les solutions du problème  sont  les abscisses de la courbe située au-dessus de la droite y = 6

on trouve graphiquement  l'intervalle  [3 ; 5]    

Explications étape par étape :

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