Bonjour,
Ex1:
On a BC = 11 cm et BA = 5 cm. Donc AC = 6 cm
AM = 4 cm
1. On a OA = BA/2 = 2,5 cm et AO' = AC/2 = 3 cm
Donc OO' = 5,5 cm.
On commence donc par tracer segment OO' = 5,5 cm à l'aide d'une règle graduée.
Ensuite il suffit de tracer les deux cercles :
C(O ; 2,5 cm) et C'(O' ; 3cm)
Les cercles sont tangents en A
Par prolongement de [OO'], on peut déterminer les points B et C
Choisir un point M sur le cercle et tracer la droite MA qui va permettre d'identifier le point N, intersection de (AM) avec C'
2.a. On constate que (MB) // (NC)
2.b.
Lemme: Si [AB} est un diamètre du cercle C et M un point du cercle différent de A et de B alors AMB est un triangle rectangle en M.
Démonstration:
Soit M' le symétrique de M par rapport à O. M' est situé sur (C) car OM' = OM
On note que [MM'] ∩ [AB] ={O}
Les deux segments ont la même longueur et se coupent en leurs milieux. (MAM'B) est donc un rectangle. AMB est donc un angle droit.
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On a donc AMB = ANC = 90°
et MAB = NAC car les deux angles sont opposés par le sommet.
Les triangles AMB et ANB sont donc semblables.
On en déduit que AM/AN = AB/AC (*)
D'après la réciproque du Th. de Thalès (MB) // (NC)
3. D'après (*), on a N = AM*AC/AB = 4*6/5 = 4,8 cm
4. D'après (*), on a AM/AN = AB/AC = (2AO)/(2AO') = AO/AO'
En appliquant le Th. de Thalès, on peut conclure que:
(MO) // (NO')
Ex2
AB = 4,8 cm
BC = 3,6 cm
AC = 6 cm
AM = 7,5 cm
1. On a AB² + BC² = (4,8)² + 3,6)² = 23,04 + 12,96 = 36
Soit AB² + BC² = 6² = AC²
D'après la réciproque du Th. de Pythagore, ABC est un triangle rectangle en B.
2. On a (CB) ⊥ (AB) et (MN) ⊥ (AB) soit (CB) // (MN)
3.a. D'après le Th. de Thalès, on a AB/AN = AC/AM
Soit AN = AB * AM / AC = 4,8 * 7,5 / 6 = 6 cm
3.b. On a AC = AN = 6 cm
le triangle ACN est donc isocèle en A
