Réponse :
d(t) = 1 + (3t + 4)/(1+t²) définie pour t ∈ [- 5°C ; 5°C]
1) déterminer le débit maximal de la pompe
d'(t) = (3(1+t²) - 2t(3t+4))/(1+t²)²
= (3 + 3t² - 6t² - 8t)/(1+t²)²
= (- 3t² - 8 t + 3)/(1+t²)²
le débit est maximal lorsque d'(t) = 0 ⇔ - 3t² - 8 t + 3 = 0
Δ = 64 + 36 = 100 > 0 ⇒ 2 racines ≠
t1 = 8 + 10)/- 6 = - 3°C ⇒ d(-3) = 1 + (3*(-3) + 4)/(1+(-3)²) = 0.5 l/s
t2 = 8 - 10)/- 6 = - 2/-6 = 1/3 °C ≈ 0.33 ° C
⇒ d(1/3) = 1 + (3*(1/3) + 4)/(1 + (1/3)²) = 5.5 l/s
donc le débit maximum de la pompe est de 5.5 l/s
la température correspondante à ce débit max est 1/3 °C
2) A quelle(s) température(s) le débit est-il de 3 l/s
1 + (3t + 4)/(1+t²) = 3 ⇔ (3t + 4)/(1+t²) - 2 = 0
⇔ (3t + 4) - 2(1 + t²) = 0
⇔ 3t + 4 - 2 - 2t² = 0
⇔ - 2t² + 3t + 2 = 0
Δ = 9 + 16 = 25 > 0 ⇒ 2 racines ≠
t1 = - 3 + 5)/- 4 = - 1/2 = - 0.5°C
t2 = - 3 - 5)/-4 = 2 °C
3) on souhaite que le débit soit au moins égal à 3 l/h
quelle doit alors la température
d(t) ≥ 3 ⇔ 1 + (3t + 4)/(1+t²) ≥ 3 ⇔ - 2t² + 3t + 2 ≥ 0
t - 5 - 0.5 2 5
- 2t² + 3t + 2 - 0 + 0 -
la température doit être t ∈ [- 0.5°C ; 2°C]
Explications étape par étape :
