Réponse :
1) montrer que, pour tout réel x non nul :
g(x) - f(x) = (x - 1)(x + 1)²/x
g(x) - f(x) = x² + x + 1/4 - (5 x + 4)/4 x
= (4 x³ + 4 x² + x)/4 x - (5 x + 4)/4 x
= (4 x³ + 4 x² + x - 5 x - 4)/4 x
= (4 x³ + 4 x² - 4 x - 4)/4 x
= 4(x³ + x² - x - 1)/4 x
= (x³ + x² - x - 1)/x
= (x²(x + 1) - (x + 1))/x
= (x + 1)(x² - 1)/x
= (x + 1)(x + 1)(x - 1)/x
= (x - 1)(x + 1)²/x
2) en déduire les abscisses des points d'intersection des courbes Cf et Cg, puis la position relative des courbes Cf et Cg
g(x) - f(x) = 0 ⇔ (x - 1)(x + 1)²/x = 0 puisque x ≠ 0
⇔ (x - 1)(x + 1)² = 0 produit nul ⇔ x - 1 = 0 ⇔ x = 1 ou x + 1 = 0
⇔ x = - 1 racine double
donc les abscisses des points d'intersection de Cf et Cg sont x = 1 et x=-1
(x+1)² ≥ 0 donc le signe de g(x) - f(x) dépend du signe de x - 1)/x
x - ∞ 0 1 + ∞
x - 1 - - 0 +
x - || + +
g(x)-f(x) + || - 0 +
entre ]- ∞ ; 0[U[1 ; + ∞[ ⇒ g(x) - f(x) ≥ 0 donc la courbe de g est au dessus de la courbe de f
entre ]0 ; 1] ⇒ Cg est en dessous de Cf
3) montrer que les courbes Cf et Cg admettent la même tangente au point A d'abscisse - 1
f(x) = (5 x + 4)/x ⇒ f '(x) = (5 x - (5 x + 4))/x² = - 4/x²
f '(-1) = - 4 et f(- 1) = 1 ⇒ y = f(-1) + f '(- 1)(x + 1) = 1 - 4(x + 1) = - 4 x - 3
g '(x) = 2 x + 1
g(-1) = 1/4 et g '(-1) = - 1 ⇒ y = g(-1) + g '(- 1)(x + 1) = 1/4 - (x + 1)
y = 1/4 - x - 1 ⇔ y = (- 4 x - 3)/4
Explications étape par étape :