L'équation réduite de la droite tangente à (Cf) au point d'abscisse a est de la forme y=mx+p
Cette droite passe par les points A(a,f(a)) et M(a+h,f(a+h)) alors le cofficient directeur m est donné par
m=yM-yA/xM-xA= f(a+h)-f(a)/h (taux d'accroissement de f entre a et a+h)
Lorsque M est assez proche de A, h sera petit, on fait tendre h vers 0. Puisque la fonction f est dérivable en a, on obtient m= f'(a)
Donc y= f'(a)x+p
D'autre part les coordonnées de A verifient cette equation, donc f(a)=f'(a)×a+p
D'où p= f(a)-f'(a)a
Finalement, l'équation réduite de la tangente à (Cf) au point d'abscisse a est
y=f'(a)x+f(a)-f'(a)a=f'(a) (x-a)+ f(a)
Exemple: on considère la fonction f(x)=x^2
Detreminons l'équation tangente à (Cf) au point d'abscisse 3
C'est y=f'(3)(x-3)+f(3)
On a f est derivable sur |R et f'(x)=2x alors f'(3)=6 et f(3)=9
Donc y=6(x-3)+9=6x-9