Bonsoir :))
[tex]\textbf{\underline{Question 1.}}\\\\On\ sait\ que\ BC=x\ et\ AB+BC+CA=10cm.\ Avec,\ AB=CA.\\\\AB=AC=\frac{10-x}{2}\\\\\ [AH]\ repr\'esente\ la\ hauteur\ issue\ du\ sommet\ A.\\\\Dans\ le\ triangle\ BHA\ ou\ CHA,\ la\ longueur\ AB\ ou\ AC\ est\ toujours\\la\ plus\ grande\ car\ elles\ d\'esignent\ l'hypot\'enuse.\\\\BH=HC=\frac{x}{2}\\\\\textbf{Condition pour le probl\`eme: }\boxed{\frac{10-x}{2}>\frac{x}{2}\ge0}\\\\Ce\ qui\ prouve\ que:\ 0\le x<5[/tex]
[tex]\textbf{\underline{Question 2.}}\\\\AHB\ est\ un\ triangle\ rectangle\ en\ H,\ d'apr\`es\ le\ th\'eor\^eme\ de\\pythagore,\ on\ a:\\\\AH^{2}+BH^{2}=AB^{2}\ \Leftrightarrow\ AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}\\\\AH=\sqrt{(\frac{10-x}{2})^{2}-\frac{x}{2}^{2}}\\\\AH=\sqrt{(5-\frac{x}{2})^{2}-\frac{x}{2}^{2}}\\\\AH=\sqrt{(25+\frac{x^{2}}{4}-5x)-\frac{x^{2}}{4}}\\\\\boxed{\bf{AH=\sqrt{25-5x}}}[/tex]
[tex]\textbf{\underline{Question 3.}}\\\\\mathbb A=\frac{Base*Hauteur}{2}\\\\\boxed{\bf{\mathbb A(x)=\frac{BC*AH}{2}=\frac{x}{2}\sqrt{25-5x}}}[/tex]
[tex]\textbf{\underline{Question 4.}}\\\\(\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}\\\\\mathbb A\ est\ d\'erivable,\ si\ et\ seulement\ si:\ 25-5x>0\ \Leftrightarrow\ x<5\\\\\mathbb A\ est\ d\'erivable,\ \forall x\in\ ]-\infty;5[\ et\ [0;5[\ \subset\ ]-\infty;5[\\\\(u.v)'=u'v+uv'\\\\u=\frac{x}{2}\ donc\ u'=\frac{1}{2}\\\\v=\sqrt{25-5x}\ \ donc\ \ v'=\frac{-5}{2\sqrt{25-5x}}\\\\\mathbb A'(x)=\frac{1}{2}\sqrt{25-5x}+\frac{x}{2}(\frac{-5}{2\sqrt{25-5x}})\\\\\mathbb A'(x)=\frac{2(25-5x)-5x}{4\sqrt{25-5x}}[/tex]
[tex]\boxed{\bf{\mathbb A'(x)=\frac{-15x+50}{4\sqrt{25-5x}}}}[/tex]
[tex]\textbf{\underline{Question 5.}}\\\\Le\ signe\ de\ \mathbb A'(x)\ d\'epend\ du\ num\'erateur\ car\ 4\sqrt{25-5x}>0\ sur\ [0;5[\\\\-15x+50\ s'annule\ pour\ x=\frac{10}{3}\\\\\mathbb A'(x)\ge0\ pour\ x\in\ [0;\frac{10}{3}],\ \mathbb A(x)\ est\ croissante\\\\\mathbb A'(x)\le0\ pour\ x\in\ [\frac{10}{3};5[,\ \mathbb A(x)\ est\ d\'ecroissante\\\\\textbf{Le maximum est donc atteint en } \boxed{\bf{x=\frac{10}{3}}}[/tex]
N'hésite pas à me poser des questions :)
Bonne continuation :)
