Réponse :
ex.2
- calculer les trois premiers termes
- déterminer leur sens de variations en justifiant à l'aide de la méthode de votre choix
1) {V0 = 100
{Vn+1 = 0.1 x Vn
V1 = 0.1 x V0 = 0.1 x 100 = 10
V2 = 0.1 x V1 = 0.1 x 10 = 1
V3 = 0.1 x V2 = 0.1 x 1 = 0.1
comme Vn ≥ 0 donc on compare Vn+1/Vn à 1
or Vn+1/Vn = 0.1 x Vn/Vn = 0.1 < 1 donc la suite (Vn) est décroissante sur N
2) Wn = 15/10ⁿ
W0 = 15/10⁰ = 15
W1 = 15/10¹ = 1.5
W2 = 15/10² = 0.15
comme les termes de la suite Wn sont positifs on compare donc
Wn+1/Wn et 1
Wn+1/Wn = 15/10ⁿ⁺¹/15/10ⁿ = 15 x 10ⁿ/15 x 10ⁿ⁺¹ = 10ⁿ/10ⁿ⁺¹ = 10ⁿ/10 x 10ⁿ = 1/10
Wn+1/Wn = 1/10 < 1 donc la suite (Wn) est décroissante sur N
3) pn = 5 x 1.1²ⁿ
p0 = 5 x 1.1⁰ = 5
p1 = 5 x 1.1¹ = 5.5
p2 = 5 x 1.1² = 6.05
pn+1/pn = 5 x 1.1ⁿ⁺¹/5 x 1.1ⁿ = 5 x 1.1ⁿ x 1.1/5 x 1.1ⁿ = 1.1
pn+1/pn = 1.1 > 1 donc la suite (pn) est croissante sur N
4) {U0 = - 5
{Un+1 = U²n
U1 = U²0 = (- 5)² = 25
U2 = U²1 = 25² = 625
U3 = U²2 = 625² = 390625
soit Un+1 = f(Un) donc f(x) = x² définie sur [0 ; + ∞[
f est dérivable sur [0 ; + ∞[ et sa dérivée f '(x) = 2 x
comme x ≥ 0 on a; 2 x ≥ 0 donc f '(x) ≥ 0 donc f est croissante sur [0 ; + ∞[ alors (Un) est croissante sur N
5) {U0 = 0.4
{Un+1 = Un - n²/(n+3)
U1 = U0 - 0²/(0+3) = 0.4
U2 = U1 - 1²/(1+3) = 0.4 - 1/4 = 0.15
U3 = U2 - 2²/(2+3) = 0.15 - 4/5 = - 0.65
Un+1 - Un = - n²/(n+3) < 0
donc la suite (Un) est décroissante à partir du rang n = 3
6) qn = (6 n + 1)/(n+2)
q0 = 1/2
q1 = 7/3
q2 = 13/4
on pose qn = f(n) donc f(x) = (6 x + 1)/(x + 2) définie sur [0 ; + ∞[
la fonction quotient est dérivable sur son domaine de définition et sa dérivée f '(x) = (6(x + 2) - (6 x + 1))/(x + 2)² = (6 x + 12 - 6 x - 1)/(x+12)²
donc f '(x) = 11/(x + 2)² > 0 donc f est croissante sur [0 ; + ∞[
alors la suite (qn) est croissante sur N
Explications étape par étape :